関数の定義(definition of function)

2つの集合の間の関係を決める規則を関数といいます．ここでは，実数の集合を考えます． ${\mathcal R}$ を実数全体の集合とします．

ある実数の集合 $D$ に属する各数 $x$ に対して，実数 $y$ が1つ定まるような規則 $f$ を $D$ から ${\mathcal R}$ への 1価関数(single-valued function)，または単に関数といいます．また，各数 $x$ に対して，実数 $y$ が2つ以上定まるような規則を 多価関数(multi-valued function) といい, 共に $f : D \longrightarrow {\mathcal R}$ で表わし， $y$ は $x$ の関数であるといい， $y = f(x)$ で表わします．このとき， $x$ を独立変数， $y$ を従属変数といいます．

例題 1..1  

$-1 \leq x \leq 1$ の各数 $x$ に対して，実数 $y$ が $x$ の 2乗を 4倍したものと， $x$ の 3乗を -3倍したものの和となるように定めた規則 $f$ は 1価関数でしょうか．また， $f(x)$ を求めてみましょう．

解 各数 $x$ に対して， $4x^2 - 3x^3$ という実数 $y$ が1つ定まるので $f$ は1価関数です．また， $f(x) = 4x^2 - 3x^3$ となります． $\blacksquare$

このように変数 $x$ と定数との間に足し算，引き算，掛け算という3つの演算を用いて得られた関数 $f(x) = 4x^2 - 3x^3$ を整式といいます．また， $f(x)$ を $x$ の2乗の6倍と $x$ を3倍したものの和で割って得られる関数

$$g(x) = \frac{f(x)}{6x^2 + 3x} = \frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}$$

を有理関数といいます．さらに， $g(x)$ の平方根をとって得られる関数

$$h(x) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{\frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}}$$

を無理関数といいます．

上の関数の定義にでてきた $D$ を関数 $f$ の 定義域(domain) といい $D(f)$ で表わします．つまり， $D(f)$ は $f(x)$ が実数となるような実数 $x$ の集合のことです．そこで，これを

$$D(f) = \{x \in {\mathcal R} : f(x) \in {\mathcal R}\}$$

と表わします．ここで， $x \in R$ とは， $x$ は $R$ の元である．つまり $x$ は実数であることを意味しています．

また， $f(x)$ を $x$ の 像(image) といい，その集合を 値域(range) といい $R(f)$ で表わします．つまり，

$$R(f) = \{y \in {\mathcal R} : y = f(x), x \in D(f) \}$$

これら $x$ と $f(x)$ を $xy$ 平面上に点として描いていくと，関数 $f$ のグラフとよばれるものができます．つまり，集合 $\{(x,y) : y = f(x), x \in D(f) \}$ が関数 $f$ の グラフ(graph) で， $G(f)$ で表わします．

例題 1..2  

$${g(x) = \frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}}$$ の定義域を求めてみましょう．

解

$$D(g) = \{x \in R: g(x) \in R\} = \{x \in R: \frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x} \in R \}$$

ここで， $${\frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}}$$ が実数になるには分母が $6x^2 + 3x \neq 0$ であることに注意すると， $6x^2 + 3x = 3x(2x + 1) \neq 0$ より

$$D(g) = \{x : x \neq 0, -\frac{1}{2} \} = (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty) \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 1..3  

$${f(x) = \sqrt{x^{2} - 1}}$$ の定義域と値域を求め， $f(x)$ のグラフを描いてみましょう．

解

$$D(f) = \{x \in R : f(x) \in R\} = \{x \in R:\sqrt{x^2 - 1} \in R\} = \{x : x^2 - 1 \geq 0\}$$

$$= (-\infty, -1] \cup [1,\infty)$$

また値域は

$$R(f) = \{y \in R:y = f(x), x \in D(f)\} = \{y \in R: 0 \leq y\}$$

となり，そのグラフは図1.1 で与えられます． $\blacksquare$

図 1.1: f(x)のグラフ

さて，関数 $f(x)，g(x)$ の作られ方をみていると， $f(x)$ と $g(x)$ の間に四則の演算を定義することができるでしょう．

定義 1..1  

$x \in D(f) \cap D(g)$ のとき，
$${(1) (f + g)(x) = f(x) + g(x)}$$
$${(2) (fg)(x) = f(x)g(x)}$$
$${(3) \frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)} (g(x) \neq 0)}$$

例題 1..4  

区分的に定義された次の2つの関数の和，差，積を求めよう．

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 - x^{2}, & x \leq 0\\ x, & x >... ...= \left\{\begin{array}{ll} -2x, & x < 1\\ 1 - x, & x \geq 1 \end{array}\right.$$

解 区分的に定義された関数の和，差，積を求めるには，２つの関数の区分を同じにする必要があります．つまり，

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 - x^{2}, & x \leq 0\\ x, & 0 <... ...ll} -2x, & x \leq 0\\ -2x, & 0 < x < 1\\ 1 - x, & x \geq 1 \end{array}\right.$$

とします．こうすれば，後は対応する区分での和，差，積をとればよいことになります．したがって，

$$f(x) + g(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1-2x-x^{2}, & x \leq 0\\ -x, & 0 < x < 1\\ 1, & x \geq 1 \end{array}\right.$$

$$f(x) - g(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1+2x-x^{2}, & x \leq 0\\ 3x, & 0 < x < 1\\ -1 + 2x, & x \geq 1 \end{array}\right.$$

$$f(x)g(x) = \left\{\begin{array}{ll} -2x+2x^{3}, & x \leq 0\\ -2x^{2}, & 0 < x < 1\\ x-x^{2}, & x \geq 1 \end{array}\right.$$

となります． $\blacksquare$

合成関数(composite functions)

1.1 で関数どうしの四則の演算について学びました．ここでは関数どうしのつなぎ方として，合成法則(composition) とよばれる方法について考えます．

まず， $f(x)$ と $g(x)$2つの関数を用意します．次に任意の $x$ に対して規則 $g$ を用いて1つの実数 $g(x)$ を取り出します．もしこの $g(x)$ が関数 $f(x)$ の定義域に入っていれば，規則 $f$ を用いて1つの実数 $f(g(x))$ を取り出すことができるでしょう．ところで，この実数 $f(g(x))$ は何なのでしょうか．

もし $g(x)$ の値域が $f(x)$ の定義域に含まれていれば， $g(x)$ の定義域内の各数 $x$ に対して， $f(g(x))$ を作ることができます．これは $g(x)$ の定義域内の各数 $x$ に対し，ただ1つの実数 $f(g(x))$ を定める規則と考えられます．よってこの規則を $f$ と $g$ の 合成関数(composite function) といい， $f \circ g$ で表わすと $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ となります．

例題 1..5  

$${f(x) = x^2 - 5}$$， $${g(x) = \frac{1}{x} + 1}$$ のとき $(f \circ g)(x), (g \circ f)(x)$ を求めてみましょう．

解

$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (g(x))^2 - 5 = (\frac{1}{x} + 1)^2 - 5$$

となり，また $(g \circ f)(x)$ を求めると

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{1}{f(x)} + 1 = \frac{1}{x^2 - 5} + 1 = \frac{x^2 -4}{x^2 - 5}$$

となります． $\blacksquare$

このように，合成の順序を変えると答が違ってくることがあります．これは実生活の中でも経験します．例えば，$10,000$ 円の商品を $1$ 割増しにしたものを $1,000$ 円引で売るのと，$1,000$ 円引にしてから $1$ 割増しにするので値段が違うことと同じ関係です．

逆関数(inverse functions)

関数 $f$ の定義域 $D(f)$ 内の任意の2数 $x_{1},x_{2}$ に対して，

$$x_{1} \neq x_{2} \Longrightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$$

が成り立つとき， $f$ は 1対1の関数(one-to-one function) であるといいます．ここで $x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$ とは， $x_{1}$ と $x_{2}$ が異なるならば， $f(x_{1})$ と $f(x_{2})$ は異なることを意味しています．この場合，値域 ${\mathcal R}(f)$ の各数 $y$ に対して， $y = f(x)$ であるような $x$ を1つ定めるような規則が考えられます(なぜでしょうか)．これを $f$ の 逆関数(inverse function) とよび， $f$ には逆関数が存在するといいます．また， $f$ の逆関数を $f^{-1}$ で表わします．$f^{-1}$ の定義域は ${\mathcal R}(f)$ で値域は $D(f)$ です．つまり，

$$f^{-1} : {\mathcal R}(f) \longrightarrow D(f), x = f^{-1}(y) \Leftrightarrow y = f(x)$$

です．なお，このとき $f^{-1}$ の独立変数は $y$ で，従属変数は $x$ ですが，独立変数を表わすときは $x$ を使うのになれているので， $x$ と $y$ を入れ替えて $y = f^{-1}(x)$ と表わすことがよくあります．つまり，

$$y = f^{-1}(x) \Leftrightarrow x = f(y)$$

合成関数を用いて表わすと

$$y = f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(f^{-1}(x)) = x$$

となります．

例題 1..6  

$${y = f(x) = x^3 + 1}$$ は 1対1の関数か調べてみましょう．

解 1対1であるためには

$$x_{1} \neq x_{2} \Longrightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$$

を示せばよいのですが，実際の問題ではこの対偶をとって

$$f(x_{1}) = f(x_{2}) \Longrightarrow x_{1} = x_{2}$$

を示すほうが簡単です．そこで

$$f(x_{1}) = f(x_{2}) \Longrightarrow x_{1}^3 + 1 = x_{2}^3 + 1$$

$$\Longrightarrow x_{1}^3 = x_{2}^3$$

$$\Longrightarrow (x_{1} - x_{2})(x_{1}^2 + x_{1}x_{2} + x_{2}^2) = 0$$

$$\Longrightarrow (x_{1} - x_{2})[(x_{1} + \frac{x_{2}}{2})^2 + \frac{3x_{2}^2}{4}] = 0$$

$$\Longrightarrow x_{1} = x_{2}$$

より $f(x)$ は1対1の関数であることが示せました． $\blacksquare$

関数のグラフが描ける場合，$x$軸と平行に線を引いて，2点以上グラフと交わるとこの関数は1対1ではありません．

もう少しして，微分について学ぶと関数 $f$ が1対1か調べるのに便利な方法があります． 関数 $f$ の定義域 $D(f)$ に含まれる任意の2数 $x_{1},x_{2}$ に対して，

$$x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})$$

が成り立つとき， $D(f)$ において，関数 $f$ は 狭義の単調増加関数(strictly increasing function) であるといい，

$$x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})$$

が成り立つとき， $D(f)$ において，関数 $f$ は 狭義の単調減少関数(strictly decreasing function) であるといいます． これらをあわせて狭義の単調関数といいます．この定義から明らかなように(なぜなら $f(x_{1})$ と $f(x_{2})$ はいつも異なる)，狭義の単調関数は1対1になります．よって次の定理を得ます．

定理 1..1  

[逆関数定理] 狭義の単調増加(または減少)関数 $f$ に対して，関数 $f^{-1}$ が存在し，すべての $x \in R(f)$ に対し

$$f(f^{-1}(x)) = x$$

が成り立つ．

例題 1..7  

逆関数定理を利用して

$$y = f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}, -\infty < x < 2$$

の逆関数 $f^{-1}$ を求めてみましょう．

解 まず，この関数が1対1の関数であることを示します．

$$f(x_{1}) = f(x_{2}) \Longrightarrow \frac{3x_{1} + 1}{x_{1} - 2} = \frac{3x_{2} + 1}{x_{2} - 2}$$

$$\Longrightarrow 3x_{1}x_{2} - 6x_{1} + x_{2} - 2 = 3x_{1}x_{2} + x_{1} - 6x_{2} - 2$$

$$\Longrightarrow -7x_{1} +7x_{2} = 0$$

$$\Longrightarrow x_{1} = x_{2}$$

次に $f(f^{-1}(x)) = x$ を用います．

$$f(f^{-1}(x)) = f(y) = \frac{3y + 1}{y - 2} = x$$

これを $y$ について解くと $3y + 1 = xy - 2x$．よって $${y = f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}}$$ となります． $\blacksquare$

確認問題

1.

$x$の値が1のとき$f(x)$の値を求めよう．

(a) $${f(x) = \vert 2-x\vert}$$ (b) $${f(x) = 4 + 10x - x^{2}}$$ (c) $${f(x) = 1 + \cos{(x-1)}}$$

2.

次の関数の定義域と値域を求めよう．

(a) $${f(x) = x^{2} - 1}$$ (b) $${g(x) = \sqrt{1-x}}$$ (c) $${h(x) = \vert\sin{x}\vert}$$

3.

$y = \frac{1}{x}$および $y = \sqrt{x}$のグラフをもとに次の関数のグラフの概形を描こう．

(a) $${y = \frac{1}{x} + 1}$$ (b) $${y = \sqrt{1 - x}}$$

4.

次の関数 $f(x),g(x)$ について， $(f \circ g)(x)$ と $g(f(x))$ を求めよう．

(a) $${f(x) = 2x+5, g(x) = x^{2}}$$(b) $${f(x) = \frac{1}{x}, g(x) = \frac{1}{x}}$$

(c) $${f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}, g(x) = \frac{1}{x^{2}}}$$

5.

次の関数は1対1の関数か調べ，もしそうならば，逆関数を求めよう．

(a) $${f(x) = 7x - 4}$$(b) $${f(x) = (x+1)^{3} + 2}$$(c) $${f(x) = \frac{x}{\vert x\vert}}$$

6

関数$f(x)$は， $x \in D(f)$で， $f(-x) = f(x)$を満たすとき偶関数(even function)であるといい， $f(-x) = -f(x)$を満たすとき奇関数(odd function)であるといいます．次の関数は偶関数か奇関数か調べよう．

(a) $${f(x) = x^{3}}$$(b) $${f(x) = x(x^{2} + 1)}$$

演習問題

1.

次の規則は $1$価関数か多価関数か調べよう．

(a) $${y^{2} = x, x > 0}$$ (b) $${y^{3} = x^2}$$

2.

次の関数の定義域を求め， $f(x)$ のグラフを描こう．

(a) $${f(x) = \sqrt{4 - x^2}}$$ (b) $${h(x) = \sqrt{\frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}}}$$

3.

次の関数 $f(x),g(x)$ について， $(f \circ g)(x)$ と $g(f(x))$ を求めよう．

(a) $${f(x) = 2x - 1, g(x) = x^2 + 1}$$

(b) $${f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 1 - x, & x \leq 0\\ x^2, & x > ... ...= \left\{\begin{array}{cl} -x, & x < 1\\ 1 + x, & x \geq 1 \end{array}\right.}$$

4.

次の関数の逆関数を求めよう．

(a) $${f(x) = \frac{1}{x+2}, -2 < x}$$ (b) $${f(x) = x^2 + 4x - 2}$$

5.

次の関数は偶関数か奇関数か調べよう．

(a) $${f(x) = \frac{x^{2}}{1 - \vert x\vert}}$$ (b) $${f(x) = \sin{x}}$$

6.

次の問いに答えよう．

(a) 偶関数と偶関数の積と偶関数と奇関数の積はどうなるか．

(b) 偶関数の特徴と奇関数の特徴について述べよう．