群の例

例題 1..3 $(\boldsymbol{Z}, +)$ : 有理整数の全体は加法に対して群になることを示せ．

解 $\begin{displaymath}\begin{array}{ll} \boldsymbol{Z} \times \boldsymbol{Z} &\to \boldsymbol{Z}\\ (a,b) & \mapsto a + b \end{array}\end{displaymath}$ という対応は写像である．

よって，有理整数全体 $\boldsymbol{Z}$ は演算 $+$

に対して群になる．

問 1..4 絶対値1の複素数全体は乗法に関して群になることを示せ．

問 1..5 ${\mathcal Q}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2}: a,b \in {\mathcal Q}\}$ から0を除いた集合 ${\mathcal Q}[\sqrt{2}]^*$ は乗法に関して群になることを示せ．

問 1..6 $M_{m,n}({\mathcal C})$ を ${\mathcal C}$ の元を成分とする $m\times n$ 型行列全体の集合とする．このとき， $(M_{m,n}({\mathcal C}),+)$ は加法群になることを示せ．

例題 1..4 $GL_{n}({\mathcal C})$ を ${\mathcal C}$ の元を成分とする次正則行列全体の集合とする．このとき， $(GL_{n}({\mathcal C}),\cdot)$ は乗法群になることを示せ．

(G2) 単位元： $\forall A \in GL_{n}({\mathcal C}), \exists E_{n} \in GL_{n}({\mathcal C})$ ( $E_{n}$ は $n$

次の単位行列), $AE_{n} = E_{n}A = A$

(G3) 逆元の存在： $\forall A \in GL_{n}({\mathcal C}), \exists A^{-1} \in GL_{n}({\mathcal C}), AA^{-1} = A^{-1}A = E_{n}$
$GL_{n}({\mathcal C})$ を次一般線形群という． $SL_{n}({\mathcal C}) = \{M_{n\times n} : det M_{n \times n} = 1\}$ を次特殊線形群という．

定理 1..1 (単位元，逆元の一意性) (1) 群に属する全ての元に対して， $a \circ e = e \circ a = a$ を満たすの元は唯一つである．
(2) に属する任意の元に対して， $a\circ b = b \circ a = e$ を満たすの元はにより一意的に定まる.