群の例

例題 1..3   $(\boldsymbol{Z}, +)$: 有理整数の全体は加法に対して群になることを示せ．

解 $$\begin{array}{ll} \boldsymbol{Z} \times \boldsymbol{Z} &\to \boldsymbol{Z}\\ (a,b) & \mapsto a + b \end{array}$$という対応は写像である．

(G1) 結合法則 $\forall a, b, c \in \boldsymbol{Z},\ a + (b+ c) = (a + b) + c$

(G2) 単位元 $\exists\ 0 \in \boldsymbol{Z}, \forall a \in \boldsymbol{Z},\ 0 + a = a + 0 = a$

(G3) 逆元の存在 $\forall a \in \boldsymbol{Z}, \exists -a \in \boldsymbol{Z}, a + (-a) = (-a) + a = 0$

よって，有理整数全体 $\boldsymbol{Z}$は演算$+$に対して群になる．

問 1..4   絶対値1の複素数全体は乗法に関して群になることを示せ．

問 1..5   ${\mathcal Q}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2}: a,b \in {\mathcal Q}\}$から0を除いた集合 ${\mathcal Q}[\sqrt{2}]^*$は乗法に関して群になることを示せ．

問 1..6   $M_{m,n}({\mathcal C})$を ${\mathcal C}$の元を成分とする$m\times n$型行列全体の集合とする．このとき， $(M_{m,n}({\mathcal C}),+)$は加法群になることを示せ．

例題 1..4   $GL_{n}({\mathcal C})$を ${\mathcal C}$の元を成分とする$n$次正則行列全体の集合とする．このとき， $(GL_{n}({\mathcal C}),\cdot)$は乗法群になることを示せ．

解 2項演算を次のように定義する． $A,B \in GL_{n}({\mathcal C})$とするとき， $A \cdot B = AB$. これは，2項演算である．なぜならば， $A = C, B = D$のとき，$AB = CD$． 次に，

(G1) 結合法則： $\forall A,B,C \in GL_{n}({\mathcal C}),\ A(BC) = (AB)C$

(G2) 単位元： $\forall A \in GL_{n}({\mathcal C}), \exists E_{n} \in GL_{n}({\mathcal C})$ ($E_{n}$は$n$次の単位行列), $AE_{n} = E_{n}A = A$

(G3) 逆元の存在： $\forall A \in GL_{n}({\mathcal C}), \exists A^{-1} \in GL_{n}({\mathcal C}), AA^{-1} = A^{-1}A = E_{n}$
$GL_{n}({\mathcal C})$を$n$次一般線形群という． $SL_{n}({\mathcal C}) = \{M_{n\times n} : det M_{n \times n} = 1\}$を$n$次特殊線形群という．

定理 1..1 (単位元，逆元の一意性)   (1) 群$G$に属する全ての元$a$に対して， $a \circ e = e \circ a = a$を満たす$G$の元$e$は唯一つである．
(2) $G$に属する任意の元$a$に対して， $a\circ b = b \circ a = e$を満たす$G$の元$b$は$a$により一意的に定まる.

証明 各自に任せる．

定理 1..2 (逆演算可能性)   $G$が群であるとする．このとき，$G$に属する任意の2つの元$a, b$に対して，

$$\left\{\begin{array}{l} a \circ x = b\\ y \circ a = b \end{array}\right.$$

を満たす$G$の元$x$および$y$が存在し，しかも，唯一通りに定まる．

証明 一意性の証明と存在の証明を行う必要がある．

定理 1..3 (消去律)   群$G$においては，消去律がなりたつ．すなわち，群$G$に属する任意の元$a,b,c$について

$$\left\{\begin{array}{ll} a \circ c = b \circ c\ {\mbox ならば}\ a = b\\ c \circ a = c \circ b\ {\mbox ならば}\ a = b \end{array}\right.$$

証明 各自に任せる．

定理 1..4   $G$を有限集合とする．$G$が群であるための必要十分条件は
(1) 2項演算$\circ$が定義されている
(2) $\circ$に関して結合法則が成り立つ
(3) $\circ$に関して消去律が成り立つ