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群の定義

定義 1..1   集合$A$の元$a$と集合$B$の元$b$の順序対$(a,b)$全体の集合を$A$と$B$の直積集合(direct product set)といい， $A \times B$で表す．たたし， $(a_{1}, b_{1}) = (a_{2}, b_{2}) \leftrightarrow a_{1} = a_{2} \wedge b_{1} = b_{2}$である．

例題 1..1   $A = \{1,2,3\}, B = \{2,3\}$の直積集合を求めよ．

解 $A \times B = \{(1,2),(1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)\}$

定義 1..2   集合$A$の任意に元$a$に対して集合$B$の元$b$が唯１つ対応させる規則を写像(mapping)といい，

\begin{displaymath}\begin{array}{ll} f : & A \longrightarrow B\\ & a \mapsto b ... ...) \end{array}\ \mbox{または}\ A \stackrel{\small f}{\rightarrow} B\end{displaymath}

と表す．

例題 1..2   $\boldsymbol{Z}$を整数全体の集合， $\boldsymbol{Q}$を有理数全体の集合， $S = \{(m,n) : \boldsymbol{Z} \times \boldsymbol{Z}, n \neq 0\}$とする．このとき, $\pi : S \to \boldsymbol{Q}$を $\pi(m,n) = \frac{m}{n}$と定義すると，$\pi$は写像である．

解 $(m',n') = (m,n)$とすると，直積の定義より， $m' = m\ \hat\ n' = n$．よって， $\pi(m',n') = \frac{m'}{n'} = \frac{m}{n} = \pi(m,n)$となり，$\pi$は写像である．

定義 1..3   集合$G$の直積集合から$G$への写像を$G$の2項演算(binary operation)という． $G \times G$の元$(a,b)$の写像による像を$a$と$b$の積といい，記号$a \circ b$または$ab$で表す．また，このとき，集合$G$に1つの2項演算が与えられているといい，$(G,\circ)$と表す．

定義 1..4   $G$は空でない集合とする．$G$に2項演算が与えられていて，次の条件を満たすとき，$G$はこの演算に関して群(group)であるという．

(G1) 結合法則 $\forall a ,b, c \in G, (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$
(G2) 単位元の存在 $\exists e \in G, \forall a \in G, a \circ e = e \circ a = a$
(G3) 逆元の存在 $\forall a \in G, \exists b \in G, a \circ b = b \circ a = e$

問 1..1   ${\mathcal Q}$に2項演算 $a \ast b = ab +1$が与えられている．このとき，2項演算$\ast$は結合法則を満たすか調べよ．

定義 1..5   群$G$に属する任意の元$a,b \in G$に対して， $a \circ b = b \circ a$が成り立つとき，$G$を可換群，または，アーベル群という．

問 1..2   $a, b$を群$G$の元とする．$a$と$b$が可換であるとき， $a \circ b^{-1} = b^{-1} \circ a$が成り立つことを示せ．

問 1..3   単位元の逆元は単位元であることを示せ．