巡回群，生成群

定理 1..13 を群の元とするとき，

$\displaystyle Ha = \{x \in G : a \equiv x \$ mod $\displaystyle \ H\}$

となる正の整数は存在しない．したがって， $\vert a\vert = \infty$ となる．次に，集合 $<a> = \{\ldots, a^{-2}, a^{-1}, a^{0} = e, a^{1}, a^{2}, \ldots\}$ を考える．このとき， $i \neq j$ ならば， $a^{i} \neq a^{j}$ である．もし， $i > j$

で $a^{i} = a^{j}$ とすると， $a^{i-j} = e\ (i-j > 0)$ となり， $a^n = e$

となる正の整数は存在しないと矛盾する．したがって， $\vert<a>\vert = \infty$ .

の位数を

とすると，

は最小の正の整数で

である．ここで， $<a> = \{\ldots, a^{-2}, a^{-1}, a^{0} = e, a^{1}, a^{2}, \ldots\}$ を考える．このとき， $a^{i}a^{n-i} = a^{n} = e$ に注意すると， $a^{n-i} = (a^{i})^{-1} = a^{-i}$ ．したがって， $<a> = \{e = a^{0}, a^{1}, a^{2}, \ldots, a^{n-1}\}$ ．よって， $\vert<a>\vert = n$ .

例題 1..15 群 ${\mathcal Z}_{6}$ の元 $\bar{4}$ の位数と $<\bar{4}>$ の位数を求めよ．

問 1..35 $<(1+i)/\sqrt{2}> \leq ({\mathcal C}^*, \cdot)$ の位数を求めよ．

問 1..36 群の元をとするとき， $\vert a^{-1}\vert = \vert a\vert$ であることを示せ．．

定義 1..14 を群の部分集合とする．このとき，を含むの部分群のすべての共通部分はの部分群になる(定理3.2)．このをにより生成されたの部分群といい，をの生成系という．

定理 1..14 を群として，をその空でない部分集合とする．このとき，

$\displaystyle <S> = \{a_{i_{1}}^{e_{1}}a_{i_{2}}^{e_{2}}\cdots a_{i_{n}}^{e_{n}} : a_{i_{1}},\ldots,a_{i_{n}} \in S, e_{i} \in {\mathcal Z}, n \in {\mathcal N}\}$

$a_{i_{1}}, \ldots, a_{i_{n}} \in S$ であり， $<S>$

は群であるから $a_{i_{1}}^{e_{1}}a_{i_{2}}^{e_{2}}\cdots a_{i_{n}}^{e_{n}} \in <S>$ ．ゆえに， $H \subset <S>$ .

定義より， $S \subset H$ である．ここで， $<S>$

は

を含む最小の群であることを示す．もし， $K \leq G, S \subset K$ とすると， $K$

が群であるから， $<S> \subset K$ . これより， $H$

が群であることを示せばよいことが分かる．

$x, y \in H$ とすると， $x = a_{i_{1}}^{e_{1}}\cdots a_{i_{n}}^{e_{n}}$ , $y = a_{j_{1}}^{f_{1}}\cdots a_{j_{n}}^{f_{n}}$ ．これより， $xy^{-1} = a_{i_{1}}^{e_{1}}\cdots a_{i_{n}}^{e_{n}}a_{j_{n}}^{-f_{n}}\cdots a_{j_{1}}^{-f_{1}} \in H$ ．よって， $H \leq G$ ．