巡回群，生成群

定理 1..13   $a$を群$G$の元とするとき，

$$Ha = \{x \in G : a \equiv x \$$   mod$$\ H\}$$

証明 (1) $a$の位数が無限である場合：

$a^n = e$となる正の整数は存在しない．したがって， $\vert a\vert = \infty$となる．次に，集合 $<a> = \{\ldots, a^{-2}, a^{-1}, a^{0} = e, a^{1}, a^{2}, \ldots\}$を考える．このとき，$i \neq j$ならば， $a^{i} \neq a^{j}$である．もし，$i > j$で $a^{i} = a^{j}$とすると， $a^{i-j} = e\ (i-j > 0)$となり，$a^n = e$となる正の整数は存在しないと矛盾する．したがって， $\vert<a>\vert = \infty$.

(2) $a$の位数が有限の場合：

$a$の位数を$n$とすると，$n$は最小の正の整数で$a^n = e$である．ここで， $<a> = \{\ldots, a^{-2}, a^{-1}, a^{0} = e, a^{1}, a^{2}, \ldots\}$を考える．このとき， $a^{i}a^{n-i} = a^{n} = e$に注意すると， $a^{n-i} = (a^{i})^{-1} = a^{-i}$．したがって， $<a> = \{e = a^{0}, a^{1}, a^{2}, \ldots, a^{n-1}\}$．よって，$\vert<a>\vert = n$.

例題 1..15   群 ${\mathcal Z}_{6}$の元$\bar{4}$の位数と$<\bar{4}>$の位数を求めよ．

解 群 ${\mathcal Z}_{6}$は加法群である．したがって，単位元は$\bar{0}$で， $n\bar{4} = \bar{0}$となる最小の正の整数$n$を求めると，$n = 3$となる． また， $<\bar{4}> = \{\bar{0}, \bar{2}, \bar{4}\}$より， $\vert<\bar{4}>\vert = 3$

問 1..35   $<(1+i)/\sqrt{2}> \leq ({\mathcal C}^*, \cdot)$の位数を求めよ．

問 1..36   群$G$の元を$a$とするとき， $\vert a^{-1}\vert = \vert a\vert$であることを示せ．．

定義 1..14   $S$を群$G$の部分集合とする．このとき，$S$を含む$G$の部分群のすべての共通部分$<S>$は$G$の部分群になる(定理3.2)．この$<S>$を$S$により生成された$G$の部分群といい，$S$を$<S>$の生成系という．

定理 1..14   $G$を群として，$S$をその空でない部分集合とする．このとき，

$$<S> = \{a_{i_{1}}^{e_{1}}a_{i_{2}}^{e_{2}}\cdots a_{i_{n}}^{e_{n}} : a_{i_{1}},\ldots,a_{i_{n}} \in S, e_{i} \in {\mathcal Z}, n \in {\mathcal N}\}$$

証明 右辺を$H$とおいて，$<S> = H$を示す．

i) $H \subset <S>$を示す:

$a_{i_{1}}, \ldots, a_{i_{n}} \in S$であり，$<S>$は群であるから $a_{i_{1}}^{e_{1}}a_{i_{2}}^{e_{2}}\cdots a_{i_{n}}^{e_{n}} \in <S>$．ゆえに， $H \subset <S>$.

ii) $<S> \subset H$を示す：

定義より， $S \subset H$である．ここで，$<S>$は$S$を含む最小の群であることを示す．もし， $K \leq G, S \subset K$とすると，$K$が群であるから， $<S> \subset K$. これより，$H$が群であることを示せばよいことが分かる．

$x, y \in H$とすると， $x = a_{i_{1}}^{e_{1}}\cdots a_{i_{n}}^{e_{n}}$, $y = a_{j_{1}}^{f_{1}}\cdots a_{j_{n}}^{f_{n}}$．これより， $xy^{-1} = a_{i_{1}}^{e_{1}}\cdots a_{i_{n}}^{e_{n}}a_{j_{n}}^{-f_{n}}\cdots a_{j_{1}}^{-f_{1}} \in H$．よって，$H \leq G$．

$G$が加法群のとき，

$$<S> = \{e_{1}a_{1} + \cdots e_{n}a_{n} : e_{1},\ldots, e_{n} \in {\mathcal Z}\}$$

となる．

問 1..37   群$G$の部分集合を$S$とするとき次を示せ．

$$<S> = \{a_{i_{1}}^{\pm 1}a_{i_{2}}^{\pm 1} \cdots a_{i_{n}}^{\pm 1} : a_{i_{1}},\ldots , a_{i_{n}} \in S, n \in {\mathcal N}\}$$

例題 1..16   加法群 ${\mathcal Z}_{12}$の部分集合 $S = \{\bar{1}, \bar{2}\}$によって生成された部分群を調べてみよう．

解 $<S> = <\bar{1}, \bar{2}> = \{e_{1}\bar{1} + e_{2}\bar{2} : e_{1}, e_{2} \in {\mathcal Z}\}$より， $\bar{1} \in <S>$．したがって， $<S> = {\mathcal Z}_{12}$

問 1..38   加法群 ${\mathcal Z}_{60}$の部分集合 $S = \{\bar{2}, \bar{3}, \bar{10}\}$によって生成された部分群を調べよ．

定理 1..15   $G$を$a$によって生成される位数$n$の巡回群とする．このとき，$G$の元$a^k$の位数は $${\frac{n}{(n,k)}}$$となる．ただし，$(n,k)$は$n$と$k$の最大公約数を表す．

証明 $d = (n,k)$とすると， $n = dn', k = dk'$より $\frac{n}{(n,k)} = \frac{n}{d} = n'$．したがって，$a^k$の位数が$n'$であることを示せばよい．

(1) $(a^k)^{n'} = a^{kn'} = a^{dk'n'} = a^{nk'} = (a^{n})^{k'} = e$

(2) $n'$が $(a^{k})^{l} = e$となる最小の正の整数であることを示す．もし，$l$が $(a^{k})^{l} = e$を満たす最小の正の整数とすると， $a^{kl} = e$より，$kl$は$a$の位数で割り切れる．よって，$kl = n s$．ここで，$(n,k) = 1$より $dk' l = dn's$．したがって，$n' \vert l$．

系 1..1   $r,s$を自然数とする．群$G$の元$a$の位数を$rs$とすると，元$a^r$の位数は$s$であり，元$a^s$の位数は$r$である．

問 1..39   次の問いに答えよ．

(1) ${\mathcal Z}_{60}$において，元 $\overline{12}$と $\overline{35}$の位数を求めよ．

系 1..2   $G$を$a$によって生成される位数$n$の巡回群とする．このとき，$G$の元$a^k$が$G$の生成元であるための必要十分条件は，$(n,k) = 1$となることである．

問 1..40   加法群 ${\mathcal Z}_{12}$の生成元を調べよ．

定理 1..16   群$G$の２つの元$a, b$が可換で，位数が，それぞれ$m,n$とする．このとき，$m$と$n$が互いに素であれば元$ab$の位数は$mn$である．

証明

(1) $(ab)^{mn} = a^{mn}b^{mn} = (a^{m})^n (b^{n})^m = e$.

(2) $(ab)^{l} = e$とすると，$a$と$b$は可換であるから， $(ab)^l = a^l b^l = e$．ゆえに， $a^l = b^{-l}$．両辺を$m$乗すると

$$(b^{-l})^m = (a^{l})^{m} = a^{lm} = (a^{m})^{l} = e^l = e$$

したがって， $b^{-lm} = e$より $b^{lm} = e$．$b$の位数は$n$なので，$n \vert lm$．このとき，$m$と$n$は互いに素なので，$n \vert l$．同様にして，$m \vert l$を得る．よって，$mn \vert l$より，$mn \leq l$.