部分群による類別

定義 1..15   $G$を群，$H$を$G$の部分群とする． $a,b \in G$に対して， $ab^{-1} \in H$のとき，$a$と$b$は$H$を法として右合同であるといい，

$$a \equiv_{r} b \ ($$mod$$\ H)$$

と表す．同様に， $a^{-1}b \in H$のとき，$a$と$b$は$H$を法として左合同であるといい，

$$a \equiv_{l} b \ ($$mod$$\ H)$$

と表す．

定理 1..17   $G$を群，$H$を$G$の部分群とし，$a,b \in G$とするとき，$H$を法として右合同および左合同という関係は同値関係である．

証明 (1) 反射率，(2) 対称律，(3) 推移律が成り立つことを示す． (1) $a \equiv_{r} a \$   mod$H$を示す．そのためには， $a a^{-1} \in H$を示せばよい．$H$は群で， $a a^{-1} = e$より， $a a^{-1} \in H$．

(2) $a \equiv_{r} b \$   mod$H$ならば $b \equiv_{r} a \$   mod$H$を示す． $a \equiv_{r} b \$   mod$H$とすると， $ab^{-1} \in H$．示したいのは， $b \equiv_{r} a \$   mod$H$．つまり， $ba^{-1} \in H$．$H$は群なので，$ab^{-1}$の逆元 $(ab^{-1})^{-1}$も$H$の元である．ところで，例題4.1より $(ab^{-1})^{-1} = (b^{-1})^{-1}a^{-1} = ba^{-1}$．したがって， $ba^{-1} \in H$

(3) $a \equiv_{r} b \$   mod$\ H, b \equiv_{r} c \$   mod$H$ならば， $a \equiv_{r} c \$   mod$H$を示せばよい．各自に任せる．

定義 1..16 (右剰余類)   $G$を群，$H$を$G$の部分群，$a$を$G$の元とするとき， $Ha = \{ha : h \in H\}$を$H$の右剰余類という．

定理 1..18   $a$を群$G$の元とするとき，

$$Ha = \{x \in G : a \equiv_{r} x \$$   mod$$\ H\}$$

証明 $[a] = \{x \in G : a \equiv_{r} x \$   mod$\ H\}$とする．まず， $Ha \subset [a]$を示す．つまり，$x \in Ha$のとき，$x \in [a]$を示せばよい．言い換えると， $a x^{-1} \in H$を示せばよい．

$x \in Ha$とすると， $x = ha, h \in H$．$H$は群なので， $h^{-1} \in H$．したがって， $h^{-1} = ax^{-1} \in H$．

次に， $[a] \subset Ha$を示す．$x \in [a]$とすると， $a \equiv_{r} x \$   mod$H$．つまり， $a x^{-1} \in H$．$H$は群なので， $(ax^{-1})^{-1} = xa^{-1} = h \in H$．したがって， $x = ha \in Ha$.

定理1.17により，$[a]$は同値類，定理1.18により$Ha$は同値類であることが分かる．したがって，$G$は共通部分を持たない同値類により分割される．よって，すべての$H$を法とする右剰余類は互いに等しいか共通部分を持たない．まとめると，

$$G = \bigcup_{a \in G}Ha\ (Ha \neq Hb\$$   ならば$$\ Ha \cap Hb = \phi)$$

となる．このことを$G$の$H$による右類別という．

例題 1..17   加法群 ${\mathcal Z}_{12}$の部分群$<\bar{2}>$による右剰余類の集合を調べてみよう．

解 $H = <\bar{2}> = \{\bar{0}, \bar{2}, \bar{4}, \bar{6}, \bar{8}, \bar{10}\}$．

$$\begin{array}{ll} H + \bar{0} = \{\bar{0}, \bar{2}, \bar{4}, ... ...ar{3}, \bar{5}, \bar{7}, \bar{9}\} = H + \bar{1}\\ \end{array}$$

確かに， ${\mathcal Z}_{12} = H \cup (H + \bar{1})$となっている．

ここで，それぞれの剰余類の濃度が同じであることに気づいただろうか．実は，次の定理が成り立つ．

定理 1..19   $G$を群，$H$を部分群とするとき，$H$の右剰余類の集合の濃度はすべて等しい．

証明 $a,b \in G$のとき$Ha$と$Hb$の濃度が等しいことを示せばよい．そこで， $\phi : Ha \longrightarrow Hb$を考える．$ha \in Ha$に対して， $\phi(ha) = hb$とおくと，$\phi$は全射である．つぎに，$\phi$が単射であることを示す．各自に任せる．

この定理より，次の定理の証明ができる．

定理 1..20 (Lagrangeの定理)   $G$を有限群，$H$を$G$の部分群とすると，$H$の位数は$G$の位数の約数である．

証明 $H$を法とする$G$の右剰余類による$G$の類別を行うと，

$$G = \cup_{a \in G}Ha$$

よって，

$$\vert G\vert = Ha_{1} \cup Ha_{2} \cup \cdots \cup Ha_{n}$$

ここで，$i \neq j$ならば $Ha_{i} \cap Ha_{j} = \phi$より， $\vert G\vert = n \vert Ha_{i}\vert = n \vert H\vert$．

定義 1..17   $G$を群，$H$を$G$の部分群とするとき，$H$の右剰余類の集合の濃度を$G$における$H$の指数といい，$\vert G : H\vert$で表す．

Lagrangeの定理より，

$$\vert G:H\vert = \vert G\vert/\vert H\vert$$

例題 1..18   $H = <\bar{4}>\ \leq {\mathcal Z}_{12}$とするとき，$H$による右剰余類をすべて求めよ．

解 $H = <\bar{4}> = \{\bar{0}, \bar{4}, \bar{8}\}$より，$\vert H\vert = 3$．次に，$H$による右剰余類を求めると，

$$<\bar{4}>, <\bar{4}> + \bar{1}, <\bar{4}> + \bar{2}, <\bar{4}> + \bar{3}$$

となり，確かにLagrangeの定理 $4 = \vert G : H\vert = \vert G\vert/\vert H\vert = 12/3$が成り立つことが分かる．

問 1..41   $H = <\bar{3}>\ \leq {\mathcal Z}_{12}$とするとき，Lagrangeの定理が成り立つことを確かめよ．

問 1..42   4次の2面体群 $D_{4} = \{r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}, s_{1}, s_{2}, t_{1}, t_{2}\}$の部分群 $H = <r_{1}>$について，Lagrangeの定理が成り立つことを確かめよ．