群の位数，元の位数

定義 1..10   群$G$に属する元の個数を$G$の位数(order)といい，記号$\vert G\vert$で表す．$G$が無限群のときは $\vert G\vert = \infty$とする．

例題 1..9   $n$次の交代群$A_{n}$の位数を求めよ．

解 $n$次の対称群$S_{n}$の位数は，$n$個の元を$n$個の元に移す写像の個数であるから，順列の数である．したがって， $\vert S_{n}\vert = n!$．次に，$A_{n}$は$S_{n}$の偶置換の集合であるから， $\vert A_{n}\vert = \vert S_{n}\vert/2 = n!/2$.

定義 1..11   単位元を$e$とする群$G$の元$a$に対して，$a^n = e$となるような最小の正の整数を$a$の位数という．そのような整数がないとき，$a$の位数は無限という．$a$の位数も記号$\vert a\vert$で表す．

例題 1..10   群 ${\mathcal Z}_{6}$の元$\bar{4}$の位数を求めよ．

解 群 ${\mathcal Z}_{6}$は加法群である．したがって，単位元は$\bar{0}$で， $n\bar{4} = \bar{0}$となる最小の正の整数$n$を求めると，$n = 3$となる．

問 1..29   ${\mathcal Z}_{12}$の各元の位数を求めよ．

問 1..30   ${\mathcal C}^{*}$において，純虚数$i$の位数を求めよ．

定理 1..10   群$G$の元$a$からなる集合 $<a> = \{a^n : n \in {\mathcal Z}\}$は$G$の部分群になる．また，この群は$a$を含む$G$の最小の部分群である．

証明 まず，$<a>$が$G$の部分群であることを示す． $x,y \in <a>$とおくと， $x = a^{n}, y = a^{m}, m,m \in {\mathcal Z}$．ここで，$xy^{-1}$が$a^{n}$の形をしていることを示せばよい． $xy^{-1} = a^{n} (a^{m})^{-1} = a^n a^{-m} = a^{n-m}$より， $xy^{-1} \in <a>$.

次に，$<a>$が$a$を含む$G$の最小の部分群であることを示す．すでに， $<a> \leq G$は示したので，最小の部分群であることを示せばよい．最小であることを示すには，他に$a$を含む部分群があると仮定し，この群が$<a>$を含むことを示せばよい．そこで，$H$を$G$の元$a$を含む部分群とすると，$H$は部分群より全ての$n$に対して $a^{n} \in H$となる．したがって， $<a> \subset H$.

定義 1..12   $<a>$を$a$で生成された$G$の巡回部分群(cyclic subgroup)という．

定義 1..13   群$G$のすべての元が$G$のある元$a$の累乗になっているとき，$G$は$a$で生成された巡回群(cyclic group)であるといい，$a$をその生成元という．

例題 1..11   加法群 ${\mathcal Z}$は1と$-1$を生成元とする巡回群であることを示せ．

解 $<1> = \{n : n \in {\mathcal Z}\} = {\mathcal Z}$, $<-1> = \{-n : n \in {\mathcal Z}\} = {\mathcal Z}$.

例題 1..12   $<i> = \{i, -1, -i, 1\}$は ${\mathcal C}^*$の巡回部分群であることを示せ．

解 $i \in {\mathcal C}^{*}$より， $<i> \leq {\mathcal C}^*$.

問 1..31   巡回群は可換群であることを示せ．

定理 1..11   群$G$の単位元を$e$とし，$G$の元$a$の位数を$n$とする．このとき，非負整数について次が成り立つ．
(1) $a^{k} = e \Longleftrightarrow k \equiv 0 \ ($mod$\ n)$
(2) $a^{k} = a^{l} \Longleftrightarrow k \equiv l\ ($mod$\ n)$

証明 (1) $(\Longrightarrow)$ $k = nq + r, 0 \leq r < n$．ここで，$a^{n} = e$より， $e = a^{nq}a^r = (a^{n})^q a^r = a^r$．したがって，$r = 0$．すなわち， $k = nq \Longleftrightarrow k \equiv 0\ ($mod$\ n)$

(1) $(\Longleftarrow)$ $k \equiv 0\ ($mod$\ n)$より， $k = nq, q \in {\mathcal Z}$.　したがって， $a^{k} = a^{nq} = (a^{n})^{q} = e^{q} = e$

定理 1..12   巡回群の部分群は巡回群である．

証明 $G = <g>$，$H \leq G$とする．$H = <a>$であることを示す． $H \leq G$とすると$e \in H$より， $H \neq \phi$．$H = \{e\}$は巡回群であるので， $H \neq \{e\}$とする．$a$を$H$の元とすると，$H \leq G$より， $a \in G = <g>$．よって，ある整数$k$で$a = g^{k}$である．ここで， $n = \min\{k \in {\mathcal N} : g^{k} \in H\}$とする．このとき，$H = <g^n>$であることを示す． $a \in H$とすると， $a = g^{k} = g^{nq + r} = g^{nq} g^{r}, 0\leq r < n$より， $g^{r} = g^{k}g^{-nq} = g^{k}(g^{n})^{-q} \in H$．したがって，$r = 0$．ゆえに，

$$a = g^{k} = g^{nq} = (g^{n})^{q} \in <g^{n}>.$$

例題 1..13   加法群 ${\mathcal Z}$と ${\mathcal Z}_{n}\ (n = 2,3,4)$について，その部分群を調べよ．

解

=2.6zw =1 (1) $G = ({\mathcal Z}, +)$ $H \leq G$とすると， $G = <1>, G = <-1>$より，$H$は巡回群である．そこで， $m = \min\{k \in {\mathcal N} : k \in H\}$とおくと， $H = <m> = m{\mathcal Z}$となる．

(2) $G = {\mathcal Z}_{2} = \{\bar{0}, \bar{1}\}$ $H \leq G$とすると， $H = \{\bar{0}\}$または$H = G$となり，$G$は真部分群を持たない．

(3) $G = {\mathcal Z}_{3} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}\}$ $H \leq G$とすると， $H = \{\bar{0}\}$または$H = G$となり，$G$は真部分群を持たない．

=2.6zw =1 (4) $G = {\mathcal Z}_{4} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\}$ $H \leq G$とすると， $H = \{\bar{0}\}$, $H = \{\bar{0},\bar{2}\}$, $H = G$となり，$G$の真部分群は $\{\bar{0},\bar{2}\}$. これを次のように描く．

$$\begin{array}{c} {\mathcal Z}_{4}\\ \vline\\ <\bar{2}>\\ \vline\\ <\bar{0}> \end{array}$$

問 1..32   ${\mathcal Z}_{12}$の部分群を調べよ．

問 1..33   $G$を軍，$e$をその単位元とする．$G$が真部分集合をもたなければ，$G$は位数が素数$p$の巡回群であることを示せ．

例題 1..14   3次の2面体群 $D_{3} = \{r_{0}, r_{1}, r_{2}, s_{1}, s_{2}, s_{3}\}$の部分群を調べよ．

解 それぞれの元の生成群を調べる．

$$<r_{0}> = \{r_{0}\}$$

$$<r_{1}> = \{r_{0}, r_{1}, r_{2}\} = <r_{2}>$$

$$<s_{1}> = \{r_{0}, s_{1}>$$

$$<s_{2}> = \{r_{0}, s_{2}>$$

$$<s_{3}> = \{r_{0}, s_{3}>$$

問 1..34   ４次の2面体群 $D_{4} = \{r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}, s_{1}, s_{2}, t_{1}, t_{2}\}$の部分群を調べよ．