群の位数，元の位数

定義 1..10 群に属する元の個数をの位数(order)といい，記号 $\vert G\vert$ で表す．が無限群のときは $\vert G\vert = \infty$ とする．

例題 1..9 次の交代群 $A_{n}$ の位数を求めよ．

解

次の対称群 $S_{n}$ の位数は， $n$

個の元を

個の元に移す写像の個数であるから，順列の数である．したがって， $\vert S_{n}\vert = n!$ ．次に， $A_{n}$ は $S_{n}$ の偶置換の集合であるから， $\vert A_{n}\vert = \vert S_{n}\vert/2 = n!/2$ .

定義 1..11 単位元をとする群の元に対して，となるような最小の正の整数をの位数という．そのような整数がないとき，の位数は無限という．の位数も記号 $\vert a\vert$ で表す．

例題 1..10 群 ${\mathcal Z}_{6}$ の元 $\bar{4}$ の位数を求めよ．

解群 ${\mathcal Z}_{6}$ は加法群である．したがって，単位元は $\bar{0}$ で， $n\bar{4} = \bar{0}$ となる最小の正の整数 $n$

を求めると，

となる．

問 1..29 ${\mathcal Z}_{12}$ の各元の位数を求めよ．

問 1..30 ${\mathcal C}^{*}$ において，純虚数の位数を求めよ．

定理 1..10 群の元からなる集合 $<a> = \{a^n : n \in {\mathcal Z}\}$ はの部分群になる．また，この群はを含むの最小の部分群である．

証明まず，

が

の部分群であることを示す． $x,y \in <a>$ とおくと， $x = a^{n}, y = a^{m}, m,m \in {\mathcal Z}$ ．ここで， $xy^{-1}$ が $a^{n}$ の形をしていることを示せばよい． $xy^{-1} = a^{n} (a^{m})^{-1} = a^n a^{-m} = a^{n-m}$ より， $xy^{-1} \in <a>$ .

次に， $<a>$ が $a$ を含む $G$ の最小の部分群であることを示す．すでに， $<a> \leq G$ は示したので，最小の部分群であることを示せばよい．最小であることを示すには，他に $a$ を含む部分群があると仮定し，この群が $<a>$ を含むことを示せばよい．そこで， $H$ を $G$ の元 $a$ を含む部分群とすると， $H$ は部分群より全ての $n$ に対して $a^{n} \in H$ となる．したがって， $<a> \subset H$ .

定義 1..12 をで生成されたの巡回部分群(cyclic subgroup)という．

定義 1..13 群のすべての元がのある元の累乗になっているとき，はで生成された巡回群(cyclic group)であるといい，をその生成元という．

例題 1..11 加法群 ${\mathcal Z}$ は1とを生成元とする巡回群であることを示せ．

解 $<1> = \{n : n \in {\mathcal Z}\} = {\mathcal Z}$ , $<-1> = \{-n : n \in {\mathcal Z}\} = {\mathcal Z}$ .

例題 1..12 $<i> = \{i, -1, -i, 1\}$ は ${\mathcal C}^*$ の巡回部分群であることを示せ．

解 $i \in {\mathcal C}^{*}$ より， $<i> \leq {\mathcal C}^*$ .

問 1..31 巡回群は可換群であることを示せ．

定理 1..11 群の単位元をとし，の元の位数をとする．このとき，非負整数について次が成り立つ．
(1) $a^{k} = e \Longleftrightarrow k \equiv 0 \ ($ mod $\ n)$
(2) $a^{k} = a^{l} \Longleftrightarrow k \equiv l\ ($ mod $\ n)$

証明 (1) $(\Longrightarrow)$ $k = nq + r, 0 \leq r < n$ ．ここで， $a^{n} = e$ より， $e = a^{nq}a^r = (a^{n})^q a^r = a^r$ ．したがって， $r = 0$

．すなわち， $k = nq \Longleftrightarrow k \equiv 0\ ($ mod $\ n)$

(1) $(\Longleftarrow)$ $k \equiv 0\ ($ mod $\ n)$ より， $k = nq, q \in {\mathcal Z}$ .　したがって， $a^{k} = a^{nq} = (a^{n})^{q} = e^{q} = e$

定理 1..12 巡回群の部分群は巡回群である．

証明

， $H \leq G$ とする． $H = <a>$

であることを示す． $H \leq G$ とすると $e \in H$ より， $H \neq \phi$ ． $H = \{e\}$ は巡回群であるので， $H \neq \{e\}$ とする． $a$

を

の元とすると， $H \leq G$ より， $a \in G = <g>$ ．よって，ある整数 $k$

で $a = g^{k}$ である．ここで， $n = \min\{k \in {\mathcal N} : g^{k} \in H\}$ とする．このとき， $H = <g^n>$

であることを示す． $a \in H$ とすると， $a = g^{k} = g^{nq + r} = g^{nq} g^{r}, 0\leq r < n$ より， $g^{r} = g^{k}g^{-nq} = g^{k}(g^{n})^{-q} \in H$ ．したがって， $r = 0$

．ゆえに，

$\displaystyle a = g^{k} = g^{nq} = (g^{n})^{q} \in <g^{n}>.$

例題 1..13 加法群 ${\mathcal Z}$ と ${\mathcal Z}_{n}\ (n = 2,3,4)$ について，その部分群を調べよ．

解

=2.6zw =1 (1) $G = ({\mathcal Z}, +)$ $H \leq G$ とすると， $G = <1>, G = <-1>$ より， $H$ は巡回群である．そこで， $m = \min\{k \in {\mathcal N} : k \in H\}$ とおくと， $H = <m> = m{\mathcal Z}$ となる．

(2) $G = {\mathcal Z}_{2} = \{\bar{0}, \bar{1}\}$ $H \leq G$ とすると， $H = \{\bar{0}\}$ または $H = G$ となり， $G$ は真部分群を持たない．

(3) $G = {\mathcal Z}_{3} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}\}$ $H \leq G$ とすると， $H = \{\bar{0}\}$ または $H = G$ となり， $G$ は真部分群を持たない．

=2.6zw =1 (4) $G = {\mathcal Z}_{4} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\}$ $H \leq G$ とすると， $H = \{\bar{0}\}$ , $H = \{\bar{0},\bar{2}\}$ , $H = G$ となり， $G$ の真部分群は $\{\bar{0},\bar{2}\}$ . これを次のように描く．

$\begin{displaymath}\begin{array}{c} {\mathcal Z}_{4}\\ \vline\\ <\bar{2}>\\ \vline\\ <\bar{0}> \end{array}\end{displaymath}$

問 1..32 ${\mathcal Z}_{12}$ の部分群を調べよ．

問 1..33 を軍，をその単位元とする．が真部分集合をもたなければ，は位数が素数の巡回群であることを示せ．

例題 1..14 3次の2面体群 $D_{3} = \{r_{0}, r_{1}, r_{2}, s_{1}, s_{2}, s_{3}\}$ の部分群を調べよ．

解それぞれの元の生成群を調べる．

$\displaystyle <r_{0}>$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{r_{0}\}$
$\displaystyle <r_{1}>$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{r_{0}, r_{1}, r_{2}\} = <r_{2}>$
$\displaystyle <s_{1}>$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{r_{0}, s_{1}>$
$\displaystyle <s_{2}>$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{r_{0}, s_{2}>$
$\displaystyle <s_{3}>$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{r_{0}, s_{3}>$

問 1..34 ４次の2面体群 $D_{4} = \{r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}, s_{1}, s_{2}, t_{1}, t_{2}\}$ の部分群を調べよ．