一般結合法則

定義 1..8 群の元 $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}(n \geq 3)$ について，積 $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ を帰納的に次のように定義する．

$\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n} = (a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1})a_{n}$

定理 1..8 (一般結合法則) $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}(n \geq 3)$ を群の元とするとき， $1 \leq r < n$ について，

$\displaystyle (a_{1}\cdots a_{r})(a_{r+1}\cdots a_{n}) = a_{1}\cdots a_{n}$

が成り立つ．

$\displaystyle a_{1}(a_{2}a_{3}) \underbrace{=}_{結合法則より} (a_{1}a_{2})a_{3} \underbrace{=}_{一般結合法則の定義より} a_{1}a_{2}a_{3}$

$\displaystyle (a_{1}\cdots a_{r})(a_{r+1}\cdots a_{n})$	$\displaystyle \underbrace{=}_{定義より}$	$\displaystyle (a_{1}\cdots a_{r})((a_{r+1}\cdots a_{n-1})a_{n})$
	$\displaystyle \underbrace{=}_{結合法則より}$	$\displaystyle \{(a_{1}\cdots a_{r})(a_{r+1}\cdots a_{n-1})\}a_{n}$
	$\displaystyle \underbrace{=}_{帰納法の仮定より}$	$\displaystyle (a_{1}\cdots a_{n-1})a_{n}$
	$\displaystyle \underbrace{=}_{定義より}$	$\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}$

定義 1..9 を群の単位元とするとき，の任意の元と整数について

$\displaystyle a^{n} = \left\{\begin{array}{ll} \overbrace{a\cdots a}^{n},& n > 0\\ e,& n = 0\\ (a^{-1})^{\vert n\vert},& n < 0 \end{array}\right.$

定理 1..9 (指数法則) 群の元と整数について，次の式が成り立つ．

$\displaystyle (1)\ a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}\hskip 1cm (2)\ (a^{m})^{n} = a^{mn}$

例題 1..8 群の元 $a_{1},\ldots,a_{n}$ について，積 $a_{1}\cdots a_{n}$ の逆元は次の式で与えられる．

$\displaystyle (a_{1}\cdots a_{n})^{-1} = a_{n}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}$

$\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}a_{n}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}$	$\displaystyle \underbrace{=}_{一般結合法則より}$	$\displaystyle a_{1}\cdots a_{n-1}(a_{n}a_{n}^{-1})a_{n-1}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}$
	$\displaystyle \underbrace{=}_{一般結合法則より}$	$\displaystyle a_{1}\cdots a_{n-2}(a_{n-1}a_{n-1}^{-1})a_{n-2}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}$
		$\displaystyle \vdots$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle a_{1}a_{1}^{-1} = e$

問 1..22 群の全ての元について次のことが成立するならば，は可換群であることを示せ．

$\displaystyle (a\cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2$

問 1..23 が可換群のとき，の元について，次のことが成立する．

$\displaystyle (a\cdot b)^{n} = a^{n}\cdot b^{n}$

問 1..24 $S_{3}$ の元で， $(a\cdot b)^2 \neq a^2 \cdot b^2$ 満たすものを１組あげよ．

問 1..25 を群の部分群とする．の元に対して， $aHa^{-1} \leq G$ であることを示せ．ただし， $aHa^{-1} = \{axa^{-1}: x \in H\}$ とする．

問 1..26 を可換群，を正の整数とするとき， $G_{(k)} = \{x \in G : x^{k} = e\}$ はの部分群であることを示せ．

問 1..27 を可換群，を正の整数とするとき， $G^{(k)} = \{x^k \in G : x \in G\}$ はの部分群であることを示せ．

問 1..28 が次のような群のとき，それぞれの場合に， $G_{(k)}, G^{(k)}\ (k = 1,2,3,\ldots)$ を求めよ．
(1) を加法群 ${\mathcal Z}, {\mathcal Q}, {\mathcal R}, {\mathcal C}$ とするとき
(2) をKleinの４元群 $K_{4}$ とするとき