一般結合法則

定義 1..8   群$G$の元 $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}(n \geq 3)$について，積 $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$を帰納的に次のように定義する．

$$a_{1}a_{2}\cdots a_{n} = (a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1})a_{n}$$

定理 1..8 (一般結合法則)   $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}(n \geq 3)$を群$G$の元とするとき， $1 \leq r < n$について，

$$(a_{1}\cdots a_{r})(a_{r+1}\cdots a_{n}) = a_{1}\cdots a_{n}$$

が成り立つ．

証明 $n$についての帰納法で証明する．
$n = 3$のときには，$r = 1$または$r = 2$．したがって，

$$a_{1}(a_{2}a_{3}) \underbrace{=}_{結合法則より} (a_{1}a_{2})a_{3} \underbrace{=}_{一般結合法則の定義より} a_{1}a_{2}a_{3}$$

$n > 3$として，$n-1$まで正しいと仮定すると

$$(a_{1}\cdots a_{r})(a_{r+1}\cdots a_{n}) \underbrace{=}_{定義より} (a_{1}\cdots a_{r})((a_{r+1}\cdots a_{n-1})a_{n})$$

$$\underbrace{=}_{結合法則より} \{(a_{1}\cdots a_{r})(a_{r+1}\cdots a_{n-1})\}a_{n}$$

$$\underbrace{=}_{帰納法の仮定より} (a_{1}\cdots a_{n-1})a_{n}$$

$$\underbrace{=}_{定義より} a_{1}\cdots a_{n}$$

定義 1..9   $e$を群$G$の単位元とするとき，$G$の任意の元$a$と整数$n$について

$$a^{n} = \left\{\begin{array}{ll} \overbrace{a\cdots a}^{n},& n > 0\\ e,& n = 0\\ (a^{-1})^{\vert n\vert},& n < 0 \end{array}\right.$$

定理 1..9 (指数法則)   群$G$の元$a$と整数$m,n$について，次の式が成り立つ．

$$(1)\ a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}\hskip 1cm (2)\ (a^{m})^{n} = a^{mn}$$

証明

例題 1..8   群$G$の元 $a_{1},\ldots,a_{n}$について，積 $a_{1}\cdots a_{n}$の逆元は次の式で与えられる．

$$(a_{1}\cdots a_{n})^{-1} = a_{n}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}$$

解

$$a_{1}\cdots a_{n}a_{n}^{-1}\cdots a_{1}^{-1} \underbrace{=}_{一般結合法則より} a_{1}\cdots a_{n-1}(a_{n}a_{n}^{-1})a_{n-1}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}$$

$$\underbrace{=}_{一般結合法則より} a_{1}\cdots a_{n-2}(a_{n-1}a_{n-1}^{-1})a_{n-2}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}$$

$$\vdots$$

$$= a_{1}a_{1}^{-1} = e$$

問 1..22   群$G$の全ての元$a, b$について次のことが成立するならば，$G$は可換群であることを示せ．

$$(a\cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2$$

問 1..23   $G$が可換群のとき，$G$の元$a, b$について，次のことが成立する．

$$(a\cdot b)^{n} = a^{n}\cdot b^{n}$$

問 1..24   $S_{3}$の元$a, b$で， $(a\cdot b)^2 \neq a^2 \cdot b^2$満たすものを１組あげよ．

問 1..25   $H$を群$G$の部分群とする．$G$の元$a$に対して， $aHa^{-1} \leq G$であることを示せ．ただし， $aHa^{-1} = \{axa^{-1}: x \in H\}$とする．

問 1..26   $G$を可換群，$k$を正の整数とするとき， $G_{(k)} = \{x \in G : x^{k} = e\}$は$G$の部分群であることを示せ．

問 1..27   $G$を可換群，$k$を正の整数とするとき， $G^{(k)} = \{x^k \in G : x \in G\}$は$G$の部分群であることを示せ．

問 1..28   $G$が次のような群のとき，それぞれの場合に， $G_{(k)}, G^{(k)}\ (k = 1,2,3,\ldots)$を求めよ．
(1) $G$を加法群 ${\mathcal Z}, {\mathcal Q}, {\mathcal R}, {\mathcal C}$とするとき
(2) $G$をKleinの４元群$K_{4}$とするとき