部分群

定義 1..7   群$G$の部分集合$H$が$G$の演算に関して群になっているとき，$H$を$G$の部分群(subgroup)といい，$H \leq G$と表す．

定理 1..6 (部分群の判定定理)   群$G$の空でない部分集合を$H$とする．$H$が$G$の部分群であるための必要十分条件は，$H$が次の条件(1)と(2)を満足していることである．
(1) $\forall a,b \in H \Longrightarrow a \circ b \in H$
(2) $\forall a \in H \Longrightarrow a^{-1} \in H$

証明 ( $\Rightarrow$) $H \leq G$とすると，$G$の演算が$H$の演算でもあるから， $\forall a,b \in H \Longrightarrow a \circ b \in H$となる．また， $a \in H \subset G$より， $a^{-1} \in G$．ここで，$H$の単位元を$f$，$G$の単位元を$e$とすると， $f = f \circ e = e$．したがって，$a$の逆元を$b \in H$とすると， $e = a \circ b = a \circ a^{-1}$となり，$G$の消去律より， $b = a^{-1} \in H$.
( $\Leftarrow$) (1)より，$H$は演算に関して閉じている．また，$H$は$G$の部分集合であるから，結合律は$G$の結合律を継承する．ここで，$H$が群になるには，単位元と逆元の存在を示せばよいが，逆元はすでに(2)で示されている．そこで，単位元の存在について示す．$a \in H$とすると，(2)より， $a^{-1} \in H$．また，(1)より $e = a \circ a^{-1} \in H$． 注 (1),(2)は次の(3)と同値である．
(3) $\forall a,b \in H \Longrightarrow a \circ b^{-1} \in H$

証明.

問 1..13   加法群(加法に関して群になるアーベル群) $({\mathcal Z},+),\ ({\mathcal Q},+),\ ({\mathcal R},+),\ ({\mathcal C},+)$について，部分群の関係を調べよ．

問 1..14   加法群 $({\mathcal Z}, +)$において，$n$を正の整数とするとき， $n{\mathcal Z} = \{na : a \in {\mathcal Z}\}$なる集合は ${\mathcal Z}$の部分群か調べよ．

問 1..15   $M$を第1行，第1列以外はすべて0である$m\times n$型行列とする．$M$は $(M_{m,n}({\mathcal C}),+)$の部分群か調べよ．

問 1..16   乗法群 $({\mathcal Q^*},\cdot),\ ({\mathcal R^*},\cdot),\ ({\mathcal C^*},\cdot)$について，

$$({\mathcal Q^*},\cdot) \leq ({\mathcal R^*},\cdot) \leq ({\mathcal C^*},\cdot)$$

であることを示せ．

問 1..17   $GL_{n}({\mathcal C}) = \{A \in M_{n}({\mathcal C}): \det A \neq 0\}$
$SL_{n}({\mathcal C}) = \{A \in M_{n}({\mathcal C}): \det A = 1\}$
$U_{n}({\mathcal C}) = \{A \in M_{n}({\mathcal C}): A^* A = A A^* = E_{n}\}$
とするとき， $SL_{n}({\mathcal C}) \leq GL_{n}({\mathcal C}),\ U_{n} \leq GL_{n}({\mathcal C})$であることを示せ．

問 1..18   $G$を群とする．$a \in G$に対して， $H = \{a^{n} : n \in {\mathcal Z}\} = (a)$, $K = \{na : n \in {\mathcal Z}\} = (a)$とすると，$H, K$は$G$の部分群であることを示せ．

例題 1..7   $H$を群$G$の部分群とし，$a$を$G$の任意の元として $aH = \{ah : h \in H\}$, $Ha = \{ha : h \in H\}$とおく．このとき，次のことが成り立つことを示せ．

$$x \in H \Longleftrightarrow xH = H \Longleftrightarrow Hx = H$$

解 $xH = H$を示す．まず，$x \in H$ならば， $x = xe \in xH$より， $H \subset xH$．次に，$a \in xH$とすると， $a = xh, h \in H$より， $x = ah^{-1} \in H$．したがって， $xH \subset H$より，$xH = H$．

問 1..19   ${\mathcal Z}_{12}$の部分集合

$$H = \{0,2,4,6,8,10\} = (2),\ K = \{0,3,6,9\} = (3)$$

は ${\mathcal Z}_{12}$部分群である．このとき，$H \cap K$，$H \cup K$は部分群か調べよ．

問 1..20   4次の2面体群$D_{4}$の部分集合

$$H = \{r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}\},\ K = \{r_{0}, r_{2}\}$$

は$D_{4}$の部分群である．このとき，$H \cap K$, $H \cup K$は部分群か調べよ．

定理 1..7   $H_{1},\ldots, H_{n}$を$G$の部分群とするとき， $H_{1} \cap \cdots \cap H_{n}$も$G$の部分群である．

証明

問 1..21   $H,K \leq G$のとき， $H \cup K \leq G$となるのはどんなときか．