部分群

定義 1..7 群の部分集合がの演算に関して群になっているとき，をの部分群(subgroup)といい， $H \leq G$ と表す．

定理 1..6 (部分群の判定定理) 群の空でない部分集合をとする．がの部分群であるための必要十分条件は，が次の条件(1)と(2)を満足していることである．
(1) $\forall a,b \in H \Longrightarrow a \circ b \in H$
(2) $\forall a \in H \Longrightarrow a^{-1} \in H$

証明 ( $\Rightarrow$ ) $H \leq G$ とすると， $G$

の演算が

の演算でもあるから， $\forall a,b \in H \Longrightarrow a \circ b \in H$ となる．また， $a \in H \subset G$ より， $a^{-1} \in G$ ．ここで， $H$

の単位元を

，

の単位元を

とすると， $f = f \circ e = e$ ．したがって， $a$

の逆元を $b \in H$ とすると， $e = a \circ b = a \circ a^{-1}$ となり， $G$

の消去律より， $b = a^{-1} \in H$ .
( $\Leftarrow$ ) (1)より， $H$

は演算に関して閉じている．また， $H$

は

の部分集合であるから，結合律は $G$

の結合律を継承する．ここで， $H$

が群になるには，単位元と逆元の存在を示せばよいが，逆元はすでに(2)で示されている．そこで，単位元の存在について示す． $a \in H$ とすると，(2)より， $a^{-1} \in H$ ．また，(1)より $e = a \circ a^{-1} \in H$ ．注 (1),(2)は次の(3)と同値である．
(3) $\forall a,b \in H \Longrightarrow a \circ b^{-1} \in H$

証明.

問 1..13 加法群(加法に関して群になるアーベル群) $({\mathcal Z},+),\ ({\mathcal Q},+),\ ({\mathcal R},+),\ ({\mathcal C},+)$ について，部分群の関係を調べよ．

問 1..14 加法群 $({\mathcal Z}, +)$ において，を正の整数とするとき， $n{\mathcal Z} = \{na : a \in {\mathcal Z}\}$ なる集合は ${\mathcal Z}$ の部分群か調べよ．

問 1..15 を第1行，第1列以外はすべて0である $m\times n$ 型行列とする．は $(M_{m,n}({\mathcal C}),+)$ の部分群か調べよ．

問 1..16 乗法群 $({\mathcal Q^*},\cdot),\ ({\mathcal R^*},\cdot),\ ({\mathcal C^*},\cdot)$ について，

$\displaystyle ({\mathcal Q^*},\cdot) \leq ({\mathcal R^*},\cdot) \leq ({\mathcal C^*},\cdot)$

であることを示せ．

問 1..17 $GL_{n}({\mathcal C}) = \{A \in M_{n}({\mathcal C}): \det A \neq 0\}$
$SL_{n}({\mathcal C}) = \{A \in M_{n}({\mathcal C}): \det A = 1\}$
$U_{n}({\mathcal C}) = \{A \in M_{n}({\mathcal C}): A^* A = A A^* = E_{n}\}$
とするとき， $SL_{n}({\mathcal C}) \leq GL_{n}({\mathcal C}),\ U_{n} \leq GL_{n}({\mathcal C})$ であることを示せ．

問 1..18 を群とする． $a \in G$ に対して， $H = \{a^{n} : n \in {\mathcal Z}\} = (a)$ , $K = \{na : n \in {\mathcal Z}\} = (a)$ とすると，はの部分群であることを示せ．

例題 1..7 を群の部分群とし，をの任意の元として $aH = \{ah : h \in H\}$ , $Ha = \{ha : h \in H\}$ とおく．このとき，次のことが成り立つことを示せ．

$\displaystyle x \in H \Longleftrightarrow xH = H \Longleftrightarrow Hx = H$

解

を示す．まず， $x \in H$ ならば， $x = xe \in xH$ より， $H \subset xH$ ．次に， $a \in xH$ とすると， $a = xh, h \in H$ より， $x = ah^{-1} \in H$ ．したがって， $xH \subset H$ より， $xH = H$