スカラー3重積(Scalar triple product)

$\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})$ をスカラー3重積といい，

$$(A_{1}\:\boldsymbol{i} + A_{2}\:\boldsymbol{j} + A_{3}\:\boldsymb... ...A_{2}&A_{3}\\ B_{1}&B_{2}&B_{3}\\ C_{1}&C_{2}&C_{3} \end{array}\right\vert .$$

で求めることができます．

ベクトル $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$が同一平面上に乗るとき $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$は共面であるまたは1次従属であるといいます．また， $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$が同一平面上にならないならば，共面でないまたは1次独立であるといいます．

スカラー3重積の絶対値は， $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$で作る平行六面体の体積と考えることができます．そこで， ベクトル $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$が共面か共面でないかを調べるとき, スカラー三重積を使うと簡単に調べられます．つまり

定理 1..2  

ベクトル $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ が共面になるための必要十分条件は, スカラー三重積 $\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = 0$ である．

例題 1..4  

$\boldsymbol{A} = \:\boldsymbol{i} + 2\:\boldsymbol{j} - \:\boldsymbol{k}, \bold... ...{k}, \boldsymbol{C} = -\:\boldsymbol{i} + 3\:\boldsymbol{j} + 4\:\boldsymbol{k}$ は共面でないことを示せ．

解 $\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \left\vert\begin{arra... ...}1 & 2 & -1\\ 2 & -1 & -1\\ -1 & 3 & 4 \end{array}\right\vert = -20 \neq 0$．よって共面でない．

問 1..8  

$\:\boldsymbol{i} + \:\boldsymbol{j}, -\:\boldsymbol{j} + 2\:\boldsymbol{k}, 2\:\boldsymbol{i} - 2\:\boldsymbol{k}$ は共面か共面でないか調べよ．

演習問題1.4

1.

$\boldsymbol{A} = \:\boldsymbol{i} + 2\:\boldsymbol{j} - \:\boldsymbol{k}, \bold... ...{k}, \boldsymbol{C} = -\:\boldsymbol{i} + 3\:\boldsymbol{j} + 4\:\boldsymbol{k}$は共面ないことを示せ．

2.

${\bf A} = {\bf i} + 2{\bf j} + {\bf k}, {\bf B} = 2{\bf i} - {\bf j} + {\bf k}, {\bf C} = -{\vert bf i} + {\bf j} + 2{\bf k}$とするとき， ${\bf A} \cdot ({\bf B} \times {\bf C}$を求めよ．

3.

${\bf A} = A_1 {\bf i} + A_2{\bf j} + A_3{\bf k}, {\bf B} = B_1 {\bf i} + B_2{\bf j} + B_3{\bf k}$とする. $\vert\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B}\vert^2 = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A})(\boldsymbol{B} \cdot\boldsymbol{B}) - (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})^2$を示せ．．