スカラー3重積

$\boldsymbol{A}\cdot (\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})$ をスカラー3重積といい，

$$(A_{1}\:\boldsymbol{i} + A_{2}\:\boldsymbol{j} + A_{3}\:\boldsymb... ...A_{2}&A_{3}\\ B_{1}&B_{2}&B_{3}\\ C_{1}&C_{2}&C_{3} \end{array}\right\vert .$$

で求めることができます．

ベクトル $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$が同一平面上に乗るとき $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$は共面であるまたは1次従属であるといいます．また， $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$が同一平面上にならないならば，共面でないまたは1次独立であるといいます．

スカラー3重積の絶対値は， $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$で作る平行六面体の体積と考えることができます．そこで， ベクトル $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$が共面か共面でないかを調べるとき, スカラー三重積を使うと簡単に調べられます．つまり

定理 1..2   ベクトル $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ が共面になるための必要十分条件は, スカラー三重積 $\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = 0$ である．

例題 1..4   $\boldsymbol{A} = \:\boldsymbol{i} + 2\:\boldsymbol{j} - \:\boldsymbol{k}, \bold... ...{k}, \boldsymbol{C} = -\:\boldsymbol{i} + 3\:\boldsymbol{j} + 4\:\boldsymbol{k}$ は共面でないことを示せ．

解 $\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \left\vert\begin{arra... ...}1 & 2 & -1\\ 2 & -1 & -1\\ -1 & 3 & 4 \end{array}\right\vert = -20 \neq 0$．よって共面でない．

問 1..8   $\:\boldsymbol{i} + \:\boldsymbol{j}, -\:\boldsymbol{j} + 2\:\boldsymbol{k}, 2\:\boldsymbol{i} - 2\:\boldsymbol{k}$ は共面か共面でないか調べよ．