面積ベクトル

平面$\pi$の片側をその表と指定し，表の反対側を裏とすれば，この平面$\pi$に表と裏を指定することができる．このように，表裏が指定された平面を有向平面といいます．有向平面の向きを表示するのに，有向平面$\pi$上に図形を考え，この図形を左肩に見るように図形のふちを回るとき，この平面に垂直であって，右ねじの進む方向が有向平面の裏から表を表します．また，この平面に垂直かつ右ねじの進む方向で大きさ1のベクトルを単位法線ベクトル(normalized normal vector)または，単位法ベクトルといい， $\boldsymbol{n}$で表します．

この有向平面$\pi$上の図形の面積を$S$とするとき，ベクトル $\textbf{S} = S\boldsymbol{n}$をこの図形の面積ベクトルといいます． $\vert\textbf{S}\vert = \vert S\boldsymbol{n}\vert = S\vert\boldsymbol{n}\vert = S$より，面積ベクトルの大きさはこの図形の面積を表し， $\textbf{S}$の向きはこの図形の空間における傾きを表します．

上の図のように，面積ベクトル $\textbf{S}$をもつ平面図形を底面とし，ベクトル $\boldsymbol{A}$に平行な母線をもつ柱体の体積を$V$とします．このとき， $\boldsymbol{A}$と $\textbf{S}$のなす角は鋭角であるとします．すると，この柱体の高さ$h$は

$$h = \vert\boldsymbol{A}\vert\cos{\theta}$$

で表されるので，

$$V = h\vert\textbf{S}\vert = \vert{bf A}\vert\vert\textbf{S}\vert\cos{\theta} = \boldsymbol{A} \cdot \textbf{S}$$

となります．このとき， $\boldsymbol{A} \cdot \textbf{S}$をこの柱体の有向体積といいます．

上の図のように，面積ベクトル $\textbf{S}$をもつ長方形ABCDと有向平面$\pi$を考えます．このとき，長方形ABCDを有向平面$\pi$上に正射影した像をA'B'C'D'とします．長方形ABCDと有向平面$\pi$のなす角が$\theta$のとき，長方形A'B'C'D'の面積を求めてみましょう． まず，面積ベクトル $\textbf{S}$と有向平面$\pi$の法線ベクトル $\boldsymbol{n}$のなす角は$\theta$であることに気づいて下さい．すると，長方形A'B'C'D'の面積$S'$は $\overline{\rm A'B'} \overline{\rm B'C'}$．また， $\overline{\rm A'B'} = \overline{\rm AB}\cos{\theta}$, $\overline{\rm B'C'} = \overline{\rm BC}$．したがって，

$$S' = \overline{\rm AB}\ \overline{\rm BC}\cos{\theta} = \vert\tex... ...bf{S}\vert\vert\boldsymbol{n}\vert\cos{\theta} = \textbf{S}\cdot \boldsymbol{n}$$

この議論を一般化して，面積ベクトルが $\textbf{S}$である平面図形と有向平面$\pi$があるとき，この平面図形を平面$\pi$上に正射影して得られる図形の面積$S'$は

$$S' = \textbf{S}\cdot \boldsymbol{n}$$

で与えられる．このとき， $\textbf{S}\cdot \boldsymbol{n}$をこの平面の有向平面$\pi$上への正射影の有向面積という．