外積

定義 1..1   ふたつの空間のベクトル $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ において, 大きさは $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ によって作られる平行四辺形の面積 $\vert\boldsymbol{A}\vert\boldsymbol{B}\vert \sin{\theta}$ と等しく, 方向は, $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ の両方に垂直で, $\boldsymbol{A}$を $180^{\circ}$以内回転して $\boldsymbol{B}$ の方向に重ねるとき右ねじの進む方向として定まるベクトルを, $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ の 外積(cross product) といい $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}$ で表す． $\boldsymbol{A} = \textbf{0}, \boldsymbol{B} = \textbf{0}, \theta = 0$ のとき, $\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{B}$ に垂直な方向が定まらないが, $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = 0$ と定義する．

$$(A_{1}\:\boldsymbol{i} + A_{2}\:\boldsymbol{j} + A_{3}\:\boldsymb... ...{1} - A_{1}B_{3})\:\boldsymbol{j} + (A_{1}B_{2} - A_{2}B_{1})\:\boldsymbol{k}.$$

と計算できる．右辺は後で学ぶ行列式を用いると次のように表せます．

$$(A_{1}\:\boldsymbol{i} + A_{2}\:\boldsymbol{j} + A_{3}\:\boldsymb... ...ldsymbol{k}\\ A_{1}&A_{2}&A_{3}\\ B_{1}&B_{2}&B_{3} \end{array}\right\vert .$$

例題 1..3   $\boldsymbol{A} = {}^t[1 2 1], \boldsymbol{B} = {}^t[2 -1 -2]$のとき， $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}$を求めよ．

解 $\left\vert\begin{array}{rrr} \:\boldsymbol{i} & \:\boldsymbol{j} & \:\boldsymbo... ...= -3\:\boldsymbol{i} + 4\:\boldsymbol{j} + -5\:\boldsymbol{k} = {}^t[-3 4 -5]$

問 1..4   $\boldsymbol{A} = 2\:\boldsymbol{i} - 3\:\boldsymbol{j} - \:\boldsymbol{k}, \boldsymbol{B} = \:\boldsymbol{i} + 4\:\boldsymbol{j} - 2\:\boldsymbol{k}$とするとき，次のベクトルを求めよ．

(1) $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}$

(2) $(2\boldsymbol{A} - 3\boldsymbol{B}) \times (\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{B})$

問 1..5   $\boldsymbol{A} = \:\boldsymbol{i} + 2\:\boldsymbol{j} + \:\boldsymbol{k}, \boldsymbol{B} = 2\:\boldsymbol{i} - \:\boldsymbol{j} - 2\:\boldsymbol{k}$とする．

(1) これらを隣接する2辺とみなしたときの平行四辺形の面積を求めよ．

(2) これらに直交する零ベクトル以外のベクトルを求めよ．

問 1..6   次の式を証明せよ．

$$\vert\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}\vert^2 = (\boldsymbol{A... ...(\boldsymbol{B}\cdot \boldsymbol{B}) - ( \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B})^2$$