点の運動(motion of objects)

曲線

$$C : \boldsymbol{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)), \ t \in [a,b]$$

は空間を運動している点Pが描いた軌跡と考えることができます．ここで区間 $[a,b]$ は時間の区間と考え， $\boldsymbol{r}(t)$ を時間 $t$ における物体の位置と考えます．すると 運動 $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)$ に対して， $\boldsymbol{r}^{\prime}(t)$ は運動の 速度ベクトル(velocity)．また， $\boldsymbol{r}^{\prime\prime}(t)$ は 加速度ベクトル(acceleration) となり，それぞれ $\textbf{v}(t),\boldsymbol{A}(t)$ で表わします．つまり，

$$\textbf{v}(t) = \boldsymbol{r}'(t) , \boldsymbol{A}(t)=\boldsymbol{r}''(t)$$

すでに学んだように，接線単位ベクトルは $${\textbf{t} = \frac{d \boldsymbol{r}}{ds}}$$ で表わせるので，速度ベクトルは

$$\textbf{v}(t) = \frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt} = \frac{d\boldsymbol{r}(t)}{ds} \frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dt} \textbf{t}$$

となります．よって，速度ベクトルは点の軌跡に対して接線方向のベクトルです．速度ベクトル $\textbf{v}$ の大きさ， $${\frac{ds}{dt}}$$ は弧の長さの変化率または速さで $v$ で表されます．つまり，

$$v = \vert\textbf{v}\vert = \vert\boldsymbol{r}'(t)\vert = \frac{ds}{dt}$$

次に加速度についてもう少しよく理解するために，速度ベクトルを考えてみましょう．

$$\textbf{v}(t) = \boldsymbol{r}'(t) = \frac{ds}{dt}\textbf{t} = v\textbf{t}$$

の両辺を微分すると

$$\boldsymbol{A} = \frac{d\textbf{v}}{dt} = \frac{dv}{dt}\textbf{t}... ...dt} = \frac{dv}{dt}\textbf{t} + v\vert\frac{d\textbf{t}}{dt}\vert\boldsymbol{n}$$

ここで

$$\frac{d\textbf{t}}{dt} = \frac{d\textbf{t}}{ds}\frac{ds}{dt} = v\frac{d\textbf{t}}{ds}$$

より

$$\vert\frac{d\textbf{t}}{dt}\vert = \vert v \frac{d\textbf{t}}{ds} \vert = v \vert\frac{d\textbf{t}}{ds}\vert = v\kappa$$

これより

$$\boldsymbol{A} = \frac{dv}{dt}\textbf{t} + v^{2}\kappa\boldsymbol{n}$$

$$= a_{\textbf{t}} + a_{\boldsymbol{n}}$$

これが加速度の接線方向と法線方向への分解です．つまり

$$a_{\textbf{t}} = (\boldsymbol{A}\cdot\textbf{t})\textbf{t} , a_{\boldsymbol{n}} = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{n}$$

例題 2..12  

$$\boldsymbol{r}(t) = (\cos\pi t, \sin\pi t, t)$$

$t = 1$ のとき $\textbf{v}(t),\boldsymbol{A}(t),v,\textbf{t},\boldsymbol{n}$ を求めてみましょう．

解

$$\boldsymbol{r}(t) = (\cos\pi t, \sin\pi t, t)$$

$$\textbf{v}(t) = \boldsymbol{r}'(t) = (-\pi\sin\pi t, \pi\cos\pi t, 1)$$

$$\boldsymbol{A}(t) = \boldsymbol{r}''(t) = (-\pi^{2}\cos\pi t, -\pi^{2}\sin\pi t, 0)$$

より $t = 1$ のとき

$$\textbf{v}(1) = (0, \pi, 1)$$

$$\boldsymbol{A}(1) = (\pi^{2}, 0, 0)$$

となるので

$$v = \vert\textbf{v}(1)\vert = \sqrt{\pi^{2} + 1}$$

$$\textbf{t} = \frac{\textbf{v}(1)}{\vert\textbf{v}(1)\vert} = \frac{(0, \pi, 1)}{\sqrt{\pi^{2} + 1}}$$

ここで $\boldsymbol{n}$ を求めるには色々な方法があります．ここでは計算が簡単な方法を考えます．

$$\boldsymbol{A} = a_{\textbf{t}} + a_{\boldsymbol{n}},a_{\textbf{t}} = (\boldsymbol{A}\cdot\textbf{t})\textbf{t} = 0$$

より

$$a_{\boldsymbol{n}} = \boldsymbol{A} - \boldsymbol{A}_{\textbf{t}} = (\pi^{2}, 0, 0)$$

したがって，

$$\boldsymbol{n} = \frac{a_{\boldsymbol{n}}}{\vert a_{\boldsymbol{n}}\vert} = (1, 0, 0)．$$

他にも

$$v = \vert\textbf{v}(t)\vert = \sqrt{\pi^{2}\sin^{2}\pi t + \pi^{2}\cos^{2}\pi t + 1} = \sqrt{\pi^{2} + 1} より$$

$$a_{\textbf{t}} = \frac{dv}{dt} = 0$$

よって $${\boldsymbol{n} = \frac{a_{\boldsymbol{n}}}{\vert a_{\boldsymbol{n}}\vert} = (1, 0, 0)}$$ と求めることができます．

接線単位ベクトル $\textbf{t}$，主法線ベクトル $\boldsymbol{n}$ と直交するベクトル

$$\boldsymbol{B} = \textbf{t} \times \boldsymbol{n}$$

を 従法線単位ベクトル(binormal unit vector) といいます．また，

$$\frac{d \boldsymbol{B}}{ds} = - \tau \boldsymbol{n}$$

を満たす $\tau$ をねじれ率(torsion)といいます．

ここで，これまでにでてきた3つの単位ベクトル $\textbf{t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{B}$ について調べてみましょう．図2.2参照．

図: 接触平面，法平面，展平面

$\textbf{t}$と $\boldsymbol{n}$で作る面を接触平面， $\boldsymbol{n}$と $\boldsymbol{B}$で作る面を法平面， $\textbf{t}$と $\boldsymbol{B}$で作る面を展平面といいます．

まず， $\textbf{t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{B}$ は互いに直交するベクトルです．また，これらのベクトルの間には Frenet-Serret (1819-1885) によって示された次の関係が成り立ちます．

定理 2..3   [Frenet-Serret]

$$\frac{d \textbf{t}}{ds} = \kappa \boldsymbol{n}, \frac{d \boldsym... ...{t} + \tau \boldsymbol{B}, \frac{d \boldsymbol{B}}{ds} = - \tau \boldsymbol{n}$$

証明 式2.1 より $${\frac{d \textbf{t}}{ds} = \kappa \boldsymbol{n}}$$ また，ねじれ率の定義より $${\frac{d \boldsymbol{B}}{ds} = - \tau \boldsymbol{n}}$$．次に． $\boldsymbol{n} \times \textbf{t}$ を $s$ で微分すると

$$\frac{d \boldsymbol{n}}{ds} = \frac{d \boldsymbol{B}}{ds} \times ... ...ol{B} \times \frac{d \textbf{t}}{ds} = \tau \boldsymbol{B} - \kappa \textbf{t}$$

例題 2..13   曲線 $\boldsymbol{r} = 2a(\sin^{-1}{t} + t\sqrt{1- t^2})\:\boldsymbol{i} + 2at^2\:\boldsymbol{j} + 4at\:\boldsymbol{k}$ について，次のものを求めよう． ただし，$a$ は任意の正の定数とする．

$(a)$ $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ に対する弧長

$(b)$ 接線単位ベクトル $\textbf{t}$

$(c)$ 主法線単位ベクトル $\boldsymbol{n}$ と 曲率 $\kappa$

$(d)$ 従法線単位ベクトル $\boldsymbol{B}$ とねじれ率 $\tau$

解 (a) $${\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = 4a \sqrt{1 - t^2}\:\boldsymbol{i} + 4at\:\boldsymbol{j} + 4a\:\boldsymbol{k}}$$ より

$$\vert\frac{d \boldsymbol{r}}{dt}\vert = \sqrt{16a^2 (1- t^2) + 16a^2 t^2 + 16a^2} = \sqrt{32 a^2} = 4\sqrt{2} a$$

したがって，

$$s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vert \frac{d \boldsymbol{r}}{dt}\vert dt = 4\sqrt{2} a (t_{2} - t_{1})$$

(b)

$$\textbf{t} = \frac{d \boldsymbol{r}}{ds} = \frac{d \boldsymbol{r}... ...-t^2}\:\boldsymbol{i} + 4at\:\boldsymbol{j} + 4a\:\boldsymbol{k}}{4\sqrt{2} a}$$

(c) $${\frac{d \textbf{t}}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{-t}{\sqrt{1 - t^2}}\:\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j}), \frac{ds}{dt} = 4\sqrt{2} a}$$ より

$$\kappa = \vert\frac{d \textbf{t}}{ds}\vert = \vert\frac{d \textbf... ...vert = \frac{1}{8a}\sqrt{\frac{t^2}{1 - t^2} + 1} = \frac{1}{8a \sqrt{1 - t^2}}$$

また， $${\boldsymbol{n} = \frac{1}{\kappa}\frac{d \textbf{t}}{ds}}$$ より

$$\boldsymbol{n} = -t\:\boldsymbol{i} + \sqrt{1 - t^2}\:\boldsymbol{j}$$

(d)

$$\boldsymbol{B} = \textbf{t} \times \boldsymbol{n} = \frac{1}{\sqr... ...{\sqrt{2}}(-\sqrt{1 - t^2}\:\boldsymbol{i} -t\:\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}$$

また，

$$\frac{d \boldsymbol{B}}{ds} = \frac{d \boldsymbol{B}/dt}{ds/dt} =... ...frac{t}{\sqrt{1- t^2}}\:\boldsymbol{i} -\boldsymbol{j}) = - \tau \boldsymbol{n}$$

より $${\tau = \frac{1}{8a \sqrt{1 - t^2}}}$$