ベクトルの微分・積分

実数 $R$ の部分集合 $D$ に属する各点 $t$ に対して，実関数 $x(t),y(t),z(t)$ が与えられるとき，1つのベクトル $(x(t),y(t),z(t))$ を考えることができます．このベクトル $\boldsymbol{F}(t)$ を $D$ から $R^{3}$ への1変数ベクトル値関数(vector-valued function)または ベクトル関数(vector function) といい，

$$\boldsymbol{F}(t) = (x(t),y(t),z(t))$$

または

$$\boldsymbol{F}(t) = x(t)\:\boldsymbol{i} + y(t)\:\boldsymbol{j} + z(t)\:\boldsymbol{k}$$

で表わします．

しばしば $\boldsymbol{F}(t)$ は幾何学的に実軸 $t$ から原点と点 $(x(t),y(t),z(t))$ を結ぶベクトルへの写像として扱われます．

例題 2..1   $${\boldsymbol{F}(t) = t\cos{t} \:\boldsymbol{i} + t\sin{t} \:\boldsymbol{j} + t^2 \:\boldsymbol{k}}$$ のとき， $\boldsymbol{F}(t)$ の軌跡を求めてみましょう．

解 $\boldsymbol{F}(t)$ の成分は $x = t\cos{t}, y = t\sin{t}, z = t^2$ であるから， $z = x^2 + y^2$ となり， $\boldsymbol{F}(t)$ の軌跡 $(x(t),y(t),z(t))$ は放物面 $z = x^2 + y^2$ 上にあることが分かります．

定義 2..1   ベクトル関数 $\boldsymbol{F}(t)$ において， $t \rightarrow t_{0}$ のとき， $\boldsymbol{F}(t) \rightarrow \textbf{L}$ ならば， $\boldsymbol{F}(t)$ の極限値は $\textbf{L}$ であるといい，次のように表わす．

$$\lim_{t \rightarrow t_{0}}\boldsymbol{F}(t) = \textbf{L}$$

極限値の定義は1変数関数のときと同じなので，たぶん連続性の定義も1変数関数のときと同じになると期待するでしょう．実際そのとうりです．

定義 2..2   $\lim_{t \rightarrow t_{0}}\boldsymbol{F}(t) = \boldsymbol{F}(t_{0})$ が成り立つとき，ベクトル関数 $\boldsymbol{F}(t)$ は $t = t_{0}$ で連続であるという．また，区間 $[a,b]$ のすべての $t$ で連続なとき， $\boldsymbol{F}(t)$ は区間 $[a,b]$ で連続であるといい， $\boldsymbol{F}(t) \in C[a,b]$ と表わす．

このように1変数関数における様々な定義はベクトル関数へと継承されます．

定義 2..3   ベクトル関数 $\boldsymbol{F}(t)$ は $t = t_{0}$ において，

$$\lim_{t \rightarrow t_{0}}\frac{\boldsymbol{F}(t) - \boldsymbol{F}(t_{0})}{t - t_{0}} = \boldsymbol{A}$$

が存在するとき $t = t_{0}$ で微分可能(differentiable) であるという．また，この極限値 $\boldsymbol{A}$ を点 $t_{0}$ における微分係数といい， $\boldsymbol{F}^{\prime}(t_{0})$ で表わす．

次の節で学びますがベクトル $\boldsymbol{F}^{\prime}(t_{0})$ の方向は， $\boldsymbol{F}(t)$ によって描かれる曲線の $t = t_{0}$ での接線方向になります．

ベクトルの和やスカラー倍がそれぞれの対応する成分の和やスカラー倍で定義されたように，ベクトル関数の極限値，微分係数，不定積分の計算は，ベクトル関数の成分の極限値，微分係数，不定積分より求めることができます．

定理 2..1   $\boldsymbol{F}(t) = x(t)\:\boldsymbol{i} + y(t)\:\boldsymbol{j} + z(t)\:\boldsymbol{k}$ とすると，次のことが成り立つ．

$${(a) \lim_{t \rightarrow t_{0}}\boldsymbol{F}(t) = \lim_{t \righ... ...ow t_{0}}y(t)\:\boldsymbol{j} + \lim_{t \rightarrow t_{0}}z(t)\:\boldsymbol{k}}$$

$${(b) \boldsymbol{F}(t) \mbox{は連続} \Leftrightarrow x(t), y(t), z(t) \mbox{が共に連続}}$$

$${(c) \boldsymbol{F} \in C'[a,b] \Rightarrow \boldsymbol{F}^{\pri... ...bol{i} + y^{\prime}(t_{0})\:\boldsymbol{j} + z^{\prime}(t_{0})\:\boldsymbol{k}}$$

$${(d) \boldsymbol{F} \in C[a,b] \Rightarrow \int_{a}^{b}\boldsymb... ...i} + \int_{a}^{b} y(t)dt\:\boldsymbol{j} + \int_{a}^{b} z(t)dt\:\boldsymbol{k}}$$

証明 (a)

$$\vert\boldsymbol{F}(t) - \textbf{L}\vert = \sqrt{(x(t) - l_{1})^2 + (y(t) - l_{2})^2 + (z(t) - l_{3})^2 }$$

より， $x(t) \rightarrow l_{1}, y(t) \rightarrow l_{2}, z(t) \rightarrow l_{3}$ ならば， $\boldsymbol{F}(t) \rightarrow \textbf{L}$．また， $\boldsymbol{F}(t) \rightarrow \textbf{L}$ ならば，

$$\sqrt{(x(t) - l_{1})^2 + (y(t) - l_{2})^2 + (z(t) - l_{3})^2 } \rightarrow 0$$

ここで，平方根の中はすべて2乗の和であることに注意すると

$$(x(t) - l_{1})^2 \rightarrow 0, (y(t) - l_{2})^2 \rightarrow 0, (z(t) - l_{3})^2 \rightarrow 0$$

となる．よって $x(t) \rightarrow l_{1}, y(t) \rightarrow l_{2}, z(t) \rightarrow l_{3}$ より，

$$\lim_{t \rightarrow t_{0}}\boldsymbol{F}(t) = \lim_{t \rightarrow... ...row t_{0}}y(t)\:\boldsymbol{j} + \lim_{t \rightarrow t_{0}}z(t)\:\boldsymbol{k}$$

(b)，(c)，(d)の証明は 演習問題にまわします．

例題 2..2   $${\boldsymbol{F}(t) = t^{2}\:\boldsymbol{i} + t\:\boldsymbol{j} + t^{3}\:\boldsymbol{k}}$$ のとき， $\boldsymbol{F}^{\prime}(t)$ を求めてみましょう．

解 それぞれの成分を微分することにより

$$\boldsymbol{F}^{\prime}(t) = 2t\:\boldsymbol{i} + \:\boldsymbol{j} + 3t^{2}\:\boldsymbol{k}$$

$\boldsymbol{F}(t),$$G$$(t)$ が $t$ について微分可能なベクトル関数ならば，次のことが成り立ちます．

$$\begin{array}{ll} (1) & (\boldsymbol{F}(t) \pm \mbox{\boldmat... ...ymbol{F}(t) \times \mbox{\boldmath $G$}^{\prime}(t) \end{array}$$

例題 2..3   $\boldsymbol{F} = 5t^2\:\boldsymbol{i} + t\:\boldsymbol{j} - t^2\:\boldsymbol{k},$   $G$$= \sin{t}\:\boldsymbol{i} - \cos{t}\:\boldsymbol{j}$のとき，次のものを求めよ． (1) $(\boldsymbol{F}\cdot$   $G$$)'$ (2) $(\boldsymbol{F} \times$   $G$$)'$

解 $F' = (5t^2)'\:\boldsymbol{i} + (t)'\:\boldsymbol{j} + - (t^2)' \:\boldsymbol{k}... ... (\cos{t})'\:\boldsymbol{j} = \cos{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j}$.

(1)

$$(\boldsymbol{F}\cdot \mbox{\boldmath$G$} )' = \boldsymbol{F}'\cdot \mbox{\boldmath$G$} + \boldsymbol{F}\cdot \mbox{\boldmath$G$} '$$

$$= (10t \:\boldsymbol{i} + \:\boldsymbol{j} - 2t \:\boldsymbol{k})\c... ...- t^2\:\boldsymbol{k})\cdot (\cos{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j})$$

$$= (5t^2 - 1)\cos{t} + 11\sin{t}$$

(2)

$$(\boldsymbol{F}\times \mbox{\boldmath$G$} )' = \boldsymbol{F}'\times \mbox{\boldmath$G$} + \boldsymbol{F}\times \mbox{\boldmath$G$} '$$

$$= (10t \:\boldsymbol{i} + \:\boldsymbol{j} - 2t \:\boldsymbol{k})\t... ... t^2\:\boldsymbol{k})\times (\cos{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j})$$

$$= \left\vert\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \b... ...oldsymbol{k}\\ 5t^2 & t & -t^2\\ \cos{t} & \sin{t} & 0 \end{array}\right\vert$$

$$= (t^2 \sin{t} - 2t \cos{t})\:\boldsymbol{i} - (t^2 \cos{t} + 2t \sin{t})\:\boldsymbol{j} + (5t^2 \sin{t} - \sin{t} - 11t\cos{t})\:\boldsymbol{k}$$

例題 2..4   ベクトル関数 $\boldsymbol{F}(t)$ の大きさ $\vert\boldsymbol{F}(t)\vert$ が定数のとき， $\boldsymbol{F}(t)$ と $\boldsymbol{F}^{\prime}(t)$ は全ての $t$ において直交することを示してみましょう．

解 $\vert\boldsymbol{F}(t)\vert = c$ より， $\vert\boldsymbol{F}(t)\vert^2 = \boldsymbol{F}(t) \cdot \boldsymbol{F}(t) = c^{2}$. よってベクトル関数の微分法より

$$(\boldsymbol{F}(t) \cdot \boldsymbol{F}(t))^{\prime} = 2\boldsymbol{F}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{F}(t) = 0$$

したがって，内積が0より $\boldsymbol{F}(t)$ と $\boldsymbol{F}^{\prime}(t)$ は直交します．

任意のベクトル関数$F(t),G(T)$と$\alpha$定数， $\boldsymbol{C}$定ベクトルについて次のことが成り立ちます．

$$\begin{array}{ll} (1) & \int (\boldsymbol{F} + \mbox{\boldmat... ...oldsymbol{F}}{dt}\times \mbox{\boldmath $G$}\;dt\\ \end{array}$$

例題 2..5   任意のベクトル関数 $\boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}(t)$に関して， $\int \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{F}'\;dt = \frac{1}{2}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{F}$を証明せよ．

解 $\int \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{F}'\;dt = \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{F} - \int\boldsymbol{F}'\cdot \boldsymbol{F}\;dt$．したがって， $\int \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{F}'\;dt = \frac{1}{2}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{F}$.

問 2..1   $\int_{2}^{3}\boldsymbol{F}\cdot \frac{d\boldsymbol{F}}{dt}\;dt$を求めよ．ただし， $\boldsymbol{F}(2) = 2\:\boldsymbol{i} -\boldsymbol{j} + 2\:\boldsymbol{k}, \boldsymbol{F}(3) = 4\:\boldsymbol{i} - 2\:\boldsymbol{j} + 3\:\boldsymbol{k}$