ストークスの定理

Stokesの定理

演習問題4.2

1.

スカラー場$\phi, \psi$の共通な定義域内にある任意の曲面$S$の境界線$C$について次の式を証明せよ．

$$\int_{C}\phi(\nabla \psi)\cdot d\boldsymbol{r} = -\int_{C}\psi(\nabla \phi)\cdot d\boldsymbol{r}$$

2.

$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}, r = \vert\boldsymbol{r}\vert$とし，$\phi$をスカラー場とする．任意の曲面$S$とその境界線$C$について次の式を証明せよ．

(1) $\int_{C}\boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r} = 2\int_{S}\boldsymbol{n}dS$

(2) $\int_{C}r^{k}\boldsymbol{r} \cdot d\boldsymbol{r} = 0$

(3) $\int_{C}\boldsymbol{r} (\nabla \phi) \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S}(\nabla \phi) \times \boldsymbol{n}dS$

3.

スカラー場$\phi$とベクトル場${\bf A}$の共通な定義域内にある任意の曲面$S$の境界線$C$について次の式を証明せよ．

$$\int_{S}\phi(\nabla \times {\bf A})\cdot\boldsymbol{n} dS = \int_... ...d\boldsymbol{r} - \int_{S}\{(\nabla \phi)\times {\bf A}\} \cdot\boldsymbol{n}dS$$

4.

$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}, r = \vert\boldsymbol{r}\vert$とし，$\phi$をスカラー場とする．任意の曲面$S$とその境界線$C$について次の式を証明せよ．

$$\int_{C}\frac{\boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r}}{r^3} = -\int... ...}\cdot\boldsymbol{n}}{r^5}\boldsymbol{r} - \frac{\boldsymbol{n}}{r^3} \right)dS$$

5.

ベクトル場${\bf A}$は全空間で定義されているとする．任意の曲面の境界線$C$について

$$\int_{C}{\bf A} \cdot d\boldsymbol{r} = 0$$

ならば，${\bf A}$はスカラー・ポテンシャルをもつ．以上のことを証明せよ．