ガウスの発散定理

演習問題4.1

1.

$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}, r = \vert\boldsymbol{r}\vert$とする．任意の領域$V$とその境界面$S$について次の等式を証明せよ．

(1) $\int_{V}\frac{1}{r^2}\;dV = \int_{S}\frac{\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}}{r^2}\;dS$

(2) $\int_{S}\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n}\; dS = 0$

(3) $\int_{S}r^{n}\boldsymbol{r} \cdot\boldsymbol{n}\; dS = (n+3)\int_{V} r^{n}\;dV$

(4) $\int_{S}r^{n} \boldsymbol{n}\; dS = n\int_{V} {\bf r}r^{n-2}\;dV$

(5) $\int_{S}r^{n}\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n}\; dS = 0$

(6) $\int_{V} r\;dV = \frac{1}{2}\int_{S}r^{2}\boldsymbol{n}\;dS$

(7) $\int_{S}F(r)\boldsymbol{n}\; dS = \int_{V} \frac{dF}{dr}\frac{\boldsymbol{r}}{r}\;dV$

2.

スカラー場$\phi$内の任意の領域$V$の境界面$S$について次の等式を証明せよ．

$$\int_{S}\boldsymbol{n} \times (\nabla \phi)\;dS = {\bf0}$$

3.

ベクトル場 $\boldsymbol{A}$が $\nabla \cdot\boldsymbol{A} = 0$を満足しているとする．このベクトル場内にある曲面$S$の境界線になっている閉曲線$C$をとる．このとき，面積分 $\Phi = \int_{S}\boldsymbol{A} \cdot\boldsymbol{n}\;dS$は$C$を境界線にもつどんな曲面$S$についても常に同一の値をもち，その値は閉曲線$C$によって定まる．以上のことを証明せよ．この$\Phi$を閉曲線$C$を貫く流速という．

4.

スカラー場$\phi$とベクトル場 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$の共通の定義域内にある，任意の領域$V$とその境界面$S$について次の等式を証明せよ．

(1) $\int_{V}\boldsymbol{A} \cdot\nabla \phi \;dV = \int_{S}\phi \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\;dS - \int_{V}\phi \nabla\cdot\boldsymbol{A}\;dV$

(2) $\int_{V}\boldsymbol{A} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{B}) \;dV = \int_{S} (\bo... ...oldsymbol{n}dS + \int_{V}\boldsymbol{B} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{A})\;dV$

(3) $\int_{V}(\nabla \phi) \cdot(\nabla \times \boldsymbol{A})\;dV= - \int_{S}((\nabla \phi) \times \boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{n}\;dS$

(4) $\boldsymbol{A} = \nabla \phi, \nabla^2 \phi = 0$ならば， $\int_{V} \vert\boldsymbol{A}\vert^2\;dV = \int_{S}\phi \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\;dS$

5.

スカラー場 $\phi, \psi$の共通の定義域内にある，任意の領域$V$とその境界面$S$について次の等式を証明せよ．

(1) $\int_{S}\psi\frac{\partial \phi}{\partial n} \;dS = \int_{V}\{\psi \nabla^2 \phi + (\nabla \psi)\cdot(\nabla \phi)\}\;dV$

(2) $\int_{S}\phi\frac{\partial \phi}{\partial n} \;dS = \int_{V}\{\phi \nabla^2 \phi + \vert\nabla \phi\vert^2\}\;dV$

(3) $\int_{S}\left(\psi\frac{\partial \phi}{\partial n} - \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\right)\;dS = \int_{V}\{\psi \nabla^2 \phi -\phi \nabla^2 \psi\}\;dV$ グリーンの公式

(4) $\phi$が調和関数であれば

$$\int_{S}\phi\frac{\partial \phi}{\partial n}\;dS = \int_{V}\vert\nabla \phi\vert^2\;dV$$

(5) $\phi, \psi$が調和関数であれば

$$\int_{S}\left(\psi\frac{\partial \phi}{\partial n} - \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\right)\;dS = 0$$

(6) $S$上で$\phi = 0$ (または， $\frac{\partial \phi}{\partial n} = 0$)ならば，調和関数$\phi$は$V$内で0 (または，定数)である．

6.

ベクトル場 $\boldsymbol{A}$は全空間で定義されているとする．任意の領域の境界面$S$について $\int_{S}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}dS = 0$ならば， $\boldsymbol{A}$はベクトル・ポテンシャルをもつ．以上のことを証明せよ．

7.

ベクトル場 $\boldsymbol{A}$は全空間で定義されているとする．任意の領域の境界面$S$について $\int_{S}\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{n}dS = 0$ならば， $\boldsymbol{A}$はスカラー・ポテンシャルをもつ．以上のことを証明せよ