線積分

演習問題3.3

1.

力の場 ${\mathbf F} = 3xy \boldsymbol{i} - 5{\bf z} + 10 x\boldsymbol{k}$の中で質点が曲線

$$C : x = t^2 + 1, y = 2t^2, z = t^3$$

に沿って$t = 1$から$t = 2$まで運動する間に力 ${\mathbf F}$がする仕事量 $W = \int_{C}{\mathbf F}\cdot d\boldsymbol{r}$を求めよ.

2.

スカラー場 $\phi = 2xyz^2$，ベクトル場 ${\mathbf F} = xy\boldsymbol{i} - z\boldsymbol{j} + x^2 \boldsymbol{k}$がある．媒介変数表示 $x = t^2, y = 2t, z = t^3 (0 \leq t \leq 1)$で表される曲線を$C$とする．次の線積分を求めよ．

(1) $\int_{C}\phi d\boldsymbol{r}$ (2) $\int_{C}{\mathbf F} \times d\boldsymbol{r}$

3.

$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}$とする．任意の閉曲線$C$について $\int_{C}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r} = 0$であることを証明せよ．

4.

力の場 ${\mathbf F}$がポテンシャル$U$をもつとする．この力の場内で質量$m$の質点が運動して，点Aから点Bまで移動したとき，次の式が成り立つことを証明せよ．

$$\frac{1}{2}mv_{A}^2 + U(A) = \frac{1}{2}mv_{B}^2 + U(B)$$

ここで， $v_{A}, v_{B}$はそれぞれ点A,Bにおけるこの質点の速度ベクトルの大きさである．

5.

全空間から$z$軸を除外した領域$D$で $\phi = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$は定義されている．$xy$平面上で原点Oを中心とし，半径$a$の円を$C$とする．次の等式を証明せよ．

$$\int_{C}(\nabla \phi)\cdot d\boldsymbol{r} = 2\pi$$