勾配と方向微分係数

演習問題3.1

1.

点 $${(x_{0},y_{0},z_{0})}$$ を通る勾配は，点 $${(x_{0},y_{0},z_{0})}$$ を通る等位面に直交することを示せ．

2.

点 $(1,2,3)$ で曲面 $${z^{2} = x^{2} + 2y^{2}}$$ に直交する単位ベクトル(法線単位ベクトル) と $(1,3,-1)$方向の方向微分係数と椄平面の方程式を求めよ．

3.

ベクトル場 $${\boldsymbol{F}(x,y) = -y\:\boldsymbol{i} + x\:\boldsymbol{j}}$$の流線を求めよ．

4.

点 ${\rm P}(x,y,z)$ の位置ベクトルを $\boldsymbol{r}= x\:\boldsymbol{i} + y\:\boldsymbol{j} + z\:\boldsymbol{k}$，ベクトル場を $${\boldsymbol{F} = -\frac{\boldsymbol{r}}{\vert\boldsymbol{r}\vert}}$$ とすると，このベクトル場は原点を除くどの領域でも保存場であり

$$f(x,y,z) = \vert\boldsymbol{r}\vert = (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}$$

は $\boldsymbol{F}$ のスカラーポテンシャルであることを示せ.

5.

ベクトル場 $\boldsymbol{r}= x\:\boldsymbol{i} + y\:\boldsymbol{j} + z\:\boldsymbol{k}$とスカラー場 $r = \vert\boldsymbol{r}\vert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$について，次の式を証明せよ.

(1)

$\nabla r = \frac{\boldsymbol{r}}{r}$

(2)

$\nabla r^{n} = nr^{n-2}\boldsymbol{r}$

6.

Let $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}, r = \vert\boldsymbol{r}\vert$. Then find ${\bf A, B}$.．

(1)

$\boldsymbol{A} = \nabla\left(2r^2 - 4\sqrt{r} + \frac{6}{3\sqrt{r}}\right)$

(2)

$\boldsymbol{B} = \nabla(r^2 e^{-r})$

7.

P$(2,-2,3)$における $x^2y + 2xz = 4$の法線単位ベクトル${\bf n}$を求めよ ．

8.

スカラー場 $\phi, \psi$において

$$\nabla \left(\frac{\phi}{\psi}\right) = \frac{\psi \nabla \phi - \phi \nabla \psi}{\phi^2}$$

が成り立つことを示せ．

演習問題3.2

1.

スカラー場 $\phi = x^2 z + e^{y/x}, \psi = 2z^2 y - xy^2$について，次のものを求めよ．

(1) $\nabla \phi, \nabla \psi$

(2) $\nabla(\phi \psi)$の点P$(1,0,-2)$における値 $\nabla (\phi\psi)_{P}$

2.

スカラー場 $\phi = 4xz^3 - 3x^2yz$の点P$(2,-1,2)$における，単位ベクトル ${\bf u} = \frac{1}{7}(2\boldsymbol{i} - 3\boldsymbol{j} + 6\boldsymbol{k})$の方向への方向微分係数を求めよ．

3.

$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}, r = \vert\boldsymbol{r}\vert$とする．次の ${\bf A, B}$を求めよ．

(1) $\boldsymbol{A} = \nabla\left(2r^2 - 4\sqrt{r} + \frac{6}{3\sqrt{r}}\right)$,(2) $\boldsymbol{B} = \nabla(r^2 e^{-r})$

4.

曲面 $x^2y + 2xz = 4$上の点P$(2,-2,3)$における法線単位ベクトル${\bf n}$を求めよ．

5.

任意のスカラー場 $\phi, \psi$について次の式を証明せよ．

$$\nabla \left(\frac{\phi}{\psi}\right) = \frac{\psi \nabla \phi - \phi \nabla \psi}{\phi^2}$$

6.

2点P$(x,y,z)$, Q $(\xi, \eta, \zeta)$間の距離を$r$とする．微分演算子

$$\nabla_{P} = \boldsymbol{i}\frac{\partial }{\partial x} + \boldsy... ...}\frac{\partial}{\partial \eta} + \boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial \zeta}$$

について次の式を証明せよ．

$${(1) \nabla_{Q}r = - \nabla_{P} r\hskip 3cm (2) \nabla_{Q}(\frac{1}{r}) = - \nabla_{P}(\frac{1}{r})}$$