演習問題

1. 階数低減法を用いて次の微分方程式を解け．
$$\begin{array}{ll} (a) y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y =... ... y^{\prime\prime} + y = \sec{x}, y_{1} = \cos{x} \end{array}$$
2. $y^{\prime\prime} + a_{1}(x)y^{\prime} + a_{0}(x)y = 0$のひとつの解が$y_{1}(x)$のとき,階数低減法をもちいて,もうひとつの解$y_{2}(x)$を求めると

$$y_{2}(x) = y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int a_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}} dx$$

で与えられることを示せ．また $\{y_{1},y_{2}\}$は一次独立であることを示せ．