コーシーの積分表示

定理 4..3 (正則関数の積分表示) 関数が領域 $\Omega$ で正則であるとする． $\Omega$ 内に単一閉曲線があり，の内部も $\Omega$ に含まれているとき，の内部の任意の点に対して次の公式が成り立つ．

$\displaystyle f(a) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{z-a};dz$

$\displaystyle f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\;dz$

練習問題4.4

1．次の定理を証明せよ．

$\displaystyle f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\ dx \ (n = 1,2,3,\ldots)$

2. 次の積分を求めよ．