4.4 コーシーの積分表示

2. コーシーの積分表示

$z=a$が曲線$C$の内部にあり$f(z)$が曲線$C$を含む領域で正則ならば

$$\int_{c}\frac{f(z)}{z-a}\ dz = 2\pi i f(a)$$

コーシーの積分定理

$\frac{f(z)}{z-a}$が曲線$C$の内部で正則ならば

$$\int_{c}\frac{f(z)}{z-a}\ dz = 0$$

(a) $\vert z\vert = 3$より$z = 2$はこの曲線の内部にある．よって，コーシーの積分表示より

$$\int_{\vert z\vert=3}\frac{e^{z}}{z - 2}\ dz = 2\pi i f(2) = 2\pi i e^{2}$$

(b) $\vert z\vert = 1$より$z = 2$はこの曲線の内部にない．よって，被積分関数は正則となるのでコーシーの積分定理より

$$\int_{\vert z\vert=1}\frac{e^{z}}{z - 2}\ dz = 0$$

(c) $\vert z\vert = 3$より$z = 0$はこの曲線の内部にある．よって，コーシーの積分表示より

$$\int_{\vert z\vert=3}\frac{\sin^{3}{z}}{z}\ dz = 2\pi i f(0) = 2\pi i \sin^{3}{0} = 0$$

(d) $\vert z\vert = 3$より $z=\frac{\pi i}{2}$はこの曲線の内部にある．よって，コーシーの積分表示より

$$\int_{\vert z\vert=3}\frac{e^{3z}}{2z - \pi i}\ dz = \frac{1}{2}\int_{\vert z\vert=3}\frac{e^{3z}}{z - \frac{\pi i}{2}}\ dz$$

$$= \pi i f(\frac{\pi i}{2}) = \pi i e^{\frac{3\pi i}{2}}$$

$$= \pi i (\cos{(3\pi /2)} + i\sin{(3\pi/2)}) = \pi i (-i) = \pi$$

(e) $\vert z\vert = 1$より $z=\frac{\pi i}{2}$はこの曲線の内部にない．よって，被積分関数は正則となるのでコーシーの積分定理より

$$\int_{\vert z\vert=1}\frac{e^{3z}}{2z - \pi i}\ dz =$$ 0

(f) $\vert z\vert = 3$より$z=\pm i$はこの曲線の内部にある．よって，コーシーの積分表示より

$$\int_{\vert z\vert=3}\frac{\cos{z}}{z^2 + 1}\ dz = \frac{1}{2i}\int_{\vert z\vert=3}{\cos{z}(\frac{1}{z-i} - \frac{1}{z+i})}\ dz$$

$$= \frac{1}{2i}[2\pi i (f(i) - f(-i))] = \pi[\cos{(i)} - \cos{(-i)}]$$

$$= \pi[\frac{e^{i^2} + e^{-i^2}}{2} - (\frac{e^{-i^2} + e^{i^2}}{2})] = 0$$

(g) $\vert z\vert = 1$より$z = 0$はこの曲線の内部にある．よって，コーシーの積分表示より

$$\int_{\vert z\vert=1}\frac{e^{z}}{z^4}\ dz = \frac{2\pi i}{3!}f^{(3)}(0) = \frac{2\pi i e^{0}}{6} = \frac{\pi i}{3}$$

(h) $\vert z\vert = 3$より $z=\frac{\pi}{2}$はこの曲線の内部にある．よって，コーシーの積分表示より

$$\int_{\vert z\vert=3}\frac{\sin{z}}{(2z - \pi)^{3}}\ dz = \frac{1}{8}\int_{\vert z\vert=3}\frac{\sin{z}}{(z - \pi/2)^{3}}\ dz$$

$$= \frac{1}{8}\frac{2\pi i}{2!}f''(\frac{\pi}{2})$$

ここで $f(z) = \sin{z}$より $f'(z) = \cos{z}, f''(z) = -\sin{z}$より $f''(\frac{\pi}{2}) = -1$よって

$$\int_{\vert z\vert=3}\frac{\sin{z}}{(2z - \pi)^{3}}\ dz = -\frac{1}{8}\frac{2\pi i}{2!} = -\frac{\pi i}{8}$$

(i) $\vert z\vert = 1$より $z=\frac{\pi}{2}$はこの曲線の内部にない．よって，被積分関数は正則となるのでコーシーの積分定理より

$$\int_{\vert z\vert=1}\frac{e^{3z}}{2z - \pi i}\ dz =$$ 0