留数

点$a$を中心とする$f(z)$のローラン展開は，整級数の部分を$g(z)$とおいて，

$$f(z) = g(z) + \frac{c_{-1}}{z-a} + \frac{c_{-2}}{(z-a)^2} + \cdots + \frac{c_{-n}}{(z-a)^{n}} + \cdots$$

と書くことができる．$C$を中心$a$の円にとるとき，$g(z)$は正則であるから， $\int_{C}g(z)\;dx = 0$である．一方，主要部の級数は$C$上で収束する．したがって，$f(z)$のローラン展開を$C$に沿って項別積分すると， $z - a = re^{i\theta}$より， $dz = i r e^{i \theta}d\theta$より，

$$\int_{C}\frac{1}{(z-a)^{n}}\; dz = \int_{0}^{2\pi}\frac{ire^{i\theta}\;d\theta}{r^{n}e^{in\theta}}$$

$$= \frac{i}{r^{n-1}}\int_{0}^{2\pi}e^{(1-n)i\theta}\;d\theta$$

$$= \left\{\begin{array}{l} i\theta\mid_{0}^{2\pi} \ (n = 1)\\ \frac... ...-1}}\frac{e^{(1-n)i\theta}}{(1-n)i}\mid_{0}^{2\pi} \ (n > 1) \end{array}\right.$$

$$= \left\{\begin{array}{l} 2\pi i \ (n = 1)\\ 0 \ (n > 1) \end{array}\right.$$

これより，

$$\oint_{C}f(z)dz = 2\pi i c_{-1}$$

となることから，$c_{-1}$の値を留数とよび，$Res[a]$と表わす．

留数公式

点$a$が$f(z)$の$m$位の特異点のとき

$$Res[a] = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z -a)^{m}f(z)$$

練習問題5.2

1． 次の関数の特異点における留数を求めよ．

(a)

$\frac{1}{z(z-1)^2}$

(b)

$\frac{z}{(2z+1)(z-2)}$

(c)

$\frac{1}{\sin{z}}$

(d)

$\frac{e^{z}}{(z-1)(z+2)^2}$

2. 次の積分を求めよ．

(a)

$\int_{\vert z\vert=2}\frac{dz}{z(z-1)^2}$

(b)

$\int_{\vert z\vert=1}\frac{z}{(2z+1)(z-2)}\ dz$

(c)

$\int_{\vert z\vert=1}\frac{dz}{\sin{z}}$

(d)

$\int_{\vert z\vert=3}\frac{e^{z}}{(z-1)(z+2)^2}\ dz$

3. $\frac{e^{2z}}{z^{2}(z^2 + 2z + 2)}$を次の曲線に沿って積分せよ．

(a)

$\vert z\vert = 1$

(b)

$\vert z - i\vert = 2$

(c)

$\vert z\vert = 3$