6.9 解答

6.9

1. より定まる陰関数が $x = x_{0}$ で極値 $y_{0} = g(x_{0})$ をとるならば，

$\displaystyle f(x_{0},y_{0}) = 0, f_{x}(x_{0},y_{0}) = 0, f_{y}(x_{0},y_{0}) \neq 0$

さらに

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(x_{0},y_{0})} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})}{f_{y}(x_{0},y_{0})} > 0 \ ならば \ y_{0} = g(x_{0}) \ 極小値である．$

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(x_{0},y_{0})} = -\frac{f_{xx}(x_{0},y_{0})}{f_{y}(x_{0},y_{0})} < 0 \ ならば \ y_{0} = g(x_{0}) \ 極大値である．$

(a) まず， $f(x,y) = 0, f_{x}(x,y) = 0$ を満たすを求める．

$\displaystyle f(x,y) = 8x^2 + 4xy + 5y^2 -36 = 0, f_{x}(x,y) = 16x + 4y = 0$

より $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -2\sqrt{2}), (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2})$ ．次に，

$\displaystyle f_{xx} = 16, f_{y} = 4x + 10y$

より $\frac{d^2 y}{dx^2}$ を計算すると

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(\frac{\sqrt{2}}{2}, -2\sqrt{2})} = -\frac{16}{2\sqrt{2} - 20\sqrt{2}} > 0$

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2})} = -\frac{16}{-2\sqrt{2} + 20\sqrt{2}} < 0$

よって $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $y = -2\sqrt{2}$ は極小値， $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $y = 2\sqrt{2}$ は極大値．

(b)

まず， $f(x,y) = 0, f_{x}(x,y) = 0$ を満たすを求める．

$\displaystyle f(x,y) = x^2 y + x + y = 0, f_{x}(x,y) = 2xy + 1 = 0$

より $y = -\frac{1}{2x}$ ．これを

に代入すると

$\displaystyle x^2 (-\frac{1}{2x}) + x - \frac{1}{2x} = \frac{x^2 -1}{2x} = 0$

よって $(1, -\frac{1}{2}), (-1, \frac{1}{2})$ ．次に，

$\displaystyle f_{xx} = 2y, f_{y} = 2x$

より $\frac{d^2 y}{dx^2}$ を計算すると

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(1, -\frac{1}{2})} = -\frac{-1}{2} > 0$

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(-1, \frac{1}{2})} = -\frac{1}{-2} > 0$

よってのとき $y = -\frac{1}{2}$ は極小値，のとき $y = \frac{1}{2}$ も極小値．

(c)

まず， $f(x,y) = 0, f_{x}(x,y) = 0$ を満たすを求める．

$\displaystyle f(x,y) = x^3 + y^3 - 6xy = 0, f_{x}(x,y) = 3x^2 - 6y = 0$

より $y = \frac{x^2}{2}$ ．これを

に代入すると

$\displaystyle x^3 + \frac{x^6}{8} - 3x^3 = \frac{x^3}{8}(x^3 - 16) = 0$

よって $(0,0), (2\sqrt[3]{2}, 2\cdot2^{\frac{2}{3}})$ ．次に，

$\displaystyle f_{xx} = 6x, f_{y} = -6$

より $\frac{d^2 y}{dx^2}$ を計算すると

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(0,0)} = -\frac{0}{-6} = 0$

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\mid_{(2\sqrt[3]{2}, 2\cdot2^{\frac{2}{3}})} = -\frac{6\cdot 2\sqrt[3]{2}}{-6} > 0$

よって $x = 2\sqrt[3]{2}$ のとき $y = 2\cdot2^{\frac{2}{3}}$ は極小値．

2. $g_{x}(x_{0},y_{0})$ と $g_{y}(x_{0},y_{0})$ の少なくとも一方は0でないとする．条件の元で，が $(x_{0},y_{0})$ で極値をとるための必要条件は

$\displaystyle F(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)$

とおいて， $(x_{0},y_{0})$ で

$\displaystyle F_{\lambda}(x,y) = 0, F_{x}(x,y) = 0, F_{y}(x,y) = 0$

が成り立つことである．ここで， $g(x,y) = 0, g_{x}(x,y) = g_{y}(x,y) = 0$ の点を特異点という．

(a) $F(x,y,\lambda) = xy^3 - \lambda(x^2 + y^2 -1)$ とおくと

$\displaystyle F_{\lambda}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ x^2 + y^2 -1 = 0$	(7.9)
$\displaystyle F_{x}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ y^3 - 2x\lambda = 0$	(7.10)
$\displaystyle F_{y}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ 3xy^2 - 2y\lambda = 0$	(7.11)

のとき式(7.9)より， $x = \pm 1$ ，式(7.10)より $\lambda = 0$ ． $y \neq 0$ のとき，式(7.11)より $2\lambda = 3xy$ ．式(7.10)に代入して，

より

．式(7.9)に代入して

より $x = \pm \frac{1}{2}$ ．よって， $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．したがって，式(7.9),(7.10),(7.11)の解は，

$\displaystyle (x,y) = (1,0),(-1,0),(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),(-\frac{1}{... ...rt{3}}{2}),(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}),(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$

このとき，

の値は，

$\displaystyle 0,0,\frac{3\sqrt{3}}{16},-\frac{3\sqrt{3}}{16},-\frac{3\sqrt{3}}{16},\frac{3\sqrt{3}}{16}$

一方，

は有界閉集合で，この上で

は連続だから最大値，最小値を持つ．以上より，最大値は

$\displaystyle f(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = f(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{16}，$

最小値は

$\displaystyle f(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = f(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{16}．$

(b) $F(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(x^3 + y^3 - 6xy)$ とおくと

$\displaystyle F_{\lambda}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ x^3 + y^3 - 6xy = 0$	(7.12)
$\displaystyle F_{x}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ 2x - \lambda(3x^2 - 6y) = 0$	(7.13)
$\displaystyle F_{y}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ 2y - \lambda(3y^2 - 6x) = 0$	(7.14)

式(7.12),(7.13)より

$\displaystyle \lambda = \frac{2x}{3x^2 - 6y} = \frac{2y}{3y^2 - 6x}$

$\displaystyle 6xy^2 - 12x^2 = 6x^2 y -12y^2$

$\displaystyle (x-y)(xy + 2(x+y)) = 0$

よって，

，または， $y = -\frac{2x}{x + 2}$ ． $F_{\lambda} = 0$ より

．したがって，

．一方，

の第1象限の部分に原点をつけ加えたものは有界閉曲線で，

はその上で連続だから最大値，最小値を持つ．以上より，最大値は

$\displaystyle f(3,3) = 18.$

又， $(x,y) \neq (0,0)$ なら

であるから，

が極小値かつ最小値である．

$\displaystyle F_{\lambda}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ x^2 - xy + y^2 - 1 = 0$	(7.15)
$\displaystyle F_{x}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ y - \lambda(2x - y) = 0$	(7.16)
$\displaystyle F_{y}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ x - \lambda(2y - x) = 0$	(7.17)

式(7.16),(7.17)より

$\displaystyle \lambda = \frac{y}{2x-y} = \frac{x}{2y-x}$

$\displaystyle 2y^2 - xy = 2x^2 - xy$

$\displaystyle x^2 = y^2$

よって， $x = \pm y$ ．

のとき $F_{\lambda} = 0$ より

．したがって，

．

のとき

．したがって， $(x = \frac{\sqrt{3}}{3},y=-\frac{\sqrt{3}}{3}),(x = -\frac{sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3})$ ．このとき，

の値は，

$\displaystyle 1,1,-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}$

一方，

は有界閉集合で，この上で

は連続だから最大値，最小値を持つ．以上より，最大値は

$\displaystyle f(1,1) = f(-1,-1) = 1，$

最小値は

$\displaystyle f(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}) = f(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{1}{3}．$

3. とおくと $F(x,y,\lambda) = xy - \lambda(2x + 3y - 12)$ .

$\displaystyle F_{\lambda}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ 2x + 3y -12 = 0$	(7.18)
$\displaystyle F_{x}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ y - 2\lambda = 0$	(7.19)
$\displaystyle F_{y}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ x - 3\lambda = 0$	(7.20)

式(7.19),(7.20)より $y=2\lambda, x = 3\lambda$ ．これを式(7.18)に代入すると

$\displaystyle 6\lambda + 6\lambda -12 = 12\lambda -12 = 0$

よって， $\lambda = 1$ より

．一方，

は有界閉集合で，この上で

は連続だから最大値を持つ．以上より，最大値は

$\displaystyle f(3,2) = 6.$

とおくと $F(x,y,z,\lambda) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - \lambda(x^2 + y^2 + z^2 - 1)$ .

$\displaystyle F_{\lambda}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ x^2 + y^2 + z^2 -1 = 0$	(7.21)
$\displaystyle F_{x}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ 2x - 2x\lambda = 0$	(7.22)
$\displaystyle F_{y}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ 4y - 2y\lambda = 0$	(7.23)
$\displaystyle F_{z}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 \ より \ 6z - 2z\lambda = 0$	(7.24)