陰関数の極値と条件付極値(extremum with side conditions)

演習問題

1.
次の式から定まる陰関数 $ y = g(x)$ の極値を求めよう.
(a)
$ \displaystyle{8x^2 +4xy + 5y^2 = 36}$
(b)
$ \displaystyle{x^{2}y + x + y = 0}$
(c)
$ \displaystyle{x^3 + y^3 - 6xy = 0}$
2.
次の条件 $ g(x,y) = 0$ のもとでの $ f(x,y)$ の最大値,最小値を求めよう.
(a)
$ \displaystyle{g(x,y) = x^2 + y^2 - 1,  f(x,y) = xy^3}$
(b)
$ \displaystyle{g(x,y) = x^3 + y^3 - 6xy,  f(x,y) = x^2 + y^2}$
(c)
$ \displaystyle{g(x,y) = x^2 - xy + y^2 - 1,  f(x,y) = xy}$
3.
$ {\rm P}(x,y)$ が直線 $ 2x + 3y = 12$ 上を移動するとき, $ xy$ の最大値を求めよう.
4.
$ {\rm P}(x,y,z)$ が球面 $ x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 上を移動するとき, $ x^2 + 2y^2 + 3z^2$ の最大値,最小値を求めよう.