1.5 解答

1.5

$\displaystyle lim_{x \to 2}\frac{x^2 - x - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x+1)(x-2)}{x-2} = 3$

また，

より，

は

で連続

$a \in (0, \infty)$ のとき $\lim_{x \rightarrow a}\sqrt{x} = \sqrt{a}$ を示す．任意の正の数 $\varepsilon$ に対して， $\displaystyle{\delta = \frac{\varepsilon}{\sqrt{a}}}$ ととると，

$\displaystyle \vert\sqrt{x} - \sqrt{a}\vert = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{a}}\vert x - a\vert \leq \frac{\vert x - a\vert}{\sqrt{a}} \leq \varepsilon$

(a) $\displaystyle{f(x) = x^2 - 3x + 1 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}}$ より最大値はのとき $\max = 11$ で最小値はのとき, $\min = -1$

(b) $x \to 0+$ のとき $f(x) = \frac{1}{x}$ は無限大に近づくので，最大値はなし．また最小値は $\min = 1$

(c) $\displaystyle{\max = \left\{\begin{array}{cl} 4-2a & a \leq 0\\ 4-2a & 0 < a ... ...\\ -\frac{a^2}{4} & 0 < a < 4\\ -\frac{a^2}{4} & a \geq 4 \end{array}\right.}$

$\displaystyle{f(x) = 2\sin{x} - x}$ とおくと，は $\displaystyle{[\frac{\pi}{2},\pi]}$ で連続で $\displaystyle{f(\frac{\pi}{2}) = 2 - \frac{\pi}{2} > 0}$ また $f(\pi) = - \pi < 0$ となるので，中間値の定理より $f(\xi) = 0$ となる $\xi$ が $\displaystyle{[(\frac{\pi}{2},\pi)}$ 内に存在する．