6.5 全微分

1.

方向微分は

$$f_{{\hat u}}'(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot {\hat u}$$

で与えられる．ここで，${\hat u}$は$u$方向の単位ベクトルを表わす．

(a) 単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = \frac{(1,-1)}{\Vert(1,-1)\Vert} = \frac{(1,-1)}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (2x, 2y)$$

よって，点$(1,2)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(1,2) = \nabla f(1,2) \cdot {\hat u} = (2,4)\cdot \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}} = \frac{2-4}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$$

(b) 単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = \frac{(1,-1)}{\Vert(1,-1)\Vert} = \frac{(1,-1)}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (e^{y} - ye^{x}, xe^{y} - e^{x})$$

よって，点$(1,2)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(1,2) = \nabla f(1,2) \cdot {\hat u} = (e^{y} - ye^{x}, xe^{y} - e^{x})\mid_{(1,2)}\cdot \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}$$

$$= (e^{2} - 2e, e^{2} -e) \cdot \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(e^{2} - 2e - e^{2} + e) = -\frac{e}{\sqrt{2}}$$

2.

(a) $\frac{\pi}{3}$方向とは，$x$軸から $\frac{\pi}{3}$の方向のことである．そこで，単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = (\cos{\frac{\pi}{3}}, \sin{\frac{\pi}{3}}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}).$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\frac{-2y}{(x-y)^2}, \frac{2x}{(x-y)^2})$$

よって，点$(1,0)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(1,0) = \nabla f(1,0) \cdot {\hat u} = (0,2)\cdot (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}$$

(b) $\frac{\pi}{3}$方向とは，$x$軸から $\frac{\pi}{3}$の方向のことである．そこで，単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = (\cos{\frac{\pi}{3}}, \sin{\frac{\pi}{3}}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}).$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\frac{2x}{x^2 + y^2}, \frac{2y}{x^2 + y^2}$$

よって，点$(1,0)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(1,0) = \nabla f(1,0) \cdot {\hat u} = (2,0)\cdot (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1$$

3.

(a) 単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = \frac{(-1,3)}{\Vert(-1,3)\Vert} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}}$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (\log{y}, \frac{x+1}{y})$$

よって，点$(0,1)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot {\hat u} = (\log{y}, \frac{x+1}{y})\mid_{(0,1)}\cdot \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}}$$

$$= (0,1) \cdot \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$$

次に方向微分が最大になる方向単位ベクトルは， $\nabla f(0,1)$と同じ方向であるから，$(0,1)$となる．

(b) 単位方向ベクトル${\hat u}$を求めると

$${\hat u} = \frac{(-1,3)}{\Vert(-1,3)\Vert} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}}$$

$$\nabla f(x,y) = (f_{x},f_{y}) = (y^{2}e^{xy} + (x-1)y^{3}e^{xy}, 2y(x-1)e^{xy} + x(x-1)y^{2}e^{xy})$$

よって，点$(0,1)$における方向微分は

$$f_{\hat u}'(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot {\hat u} = (\log{y}, \frac{x+1}{y})\mid_{(0,1)}\cdot \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}}$$

$$= (y^{2}e^{xy} + (x-1)y^{3}e^{xy}, 2y(x-1)e^{xy} + x(x-1)y^{2}e^{xy})\mid_{(0,1)} \cdot \frac{(-1,1)}{\sqrt{10}}$$

$$= (0,-2)\cdot \frac{(-1,3)}{\sqrt{10}} = -\frac{6}{\sqrt{10}}$$

次に方向微分が最大になる方向単位ベクトルは， $\nabla f(0,1)$と同じ方向であるから， $\frac{(0,-2)}{\Vert(0,-2)\Vert} = (0,-1)$となる．