面積ベクトル(Area vector)

平面 $\pi$ の片側をその表と指定し，表の反対側を裏とすれば，この平面 $\pi$ に表と裏を指定することができる．このように，表裏が指定された平面を有向平面といいます．有向平面の向きを表示するのに，有向平面 $\pi$ 上に図形を考え，この図形を左肩に見るように図形のふちを回るとき，この平面に垂直であって，右ねじの進む方向が有向平面の裏から表を表します．また，この平面に垂直かつ右ねじの進む方向で大きさ1のベクトルを単位法線ベクトル(normalized normal vector)または，単位法ベクトルといい， $\boldsymbol{n}$ で表します．

$\includegraphics[width=6cm]{VECANALFIG/areavec.eps}$

この有向平面 $\pi$ 上の図形の面積をとするとき，ベクトル ${\bf S} = S\boldsymbol{n}$ をこの図形の面積ベクトルといいます． $\vert{\bf S}\vert = \vert S\boldsymbol{n}\vert = S\vert\boldsymbol{n}\vert = S$ より，面積ベクトルの大きさはこの図形の面積を表し， ${\bf S}$ の向きはこの図形の空間における傾きを表します．

$\includegraphics[width=5cm]{VECANALFIG/volvec.eps}$

上の図のように，面積ベクトル ${\bf S}$ をもつ平面図形を底面とし，ベクトル $\boldsymbol{A}$ に平行な母線をもつ柱体の体積を

とします．このとき， $\boldsymbol{A}$ と ${\bf S}$ のなす角は鋭角であるとします．すると，この柱体の高さ

は

$\displaystyle h = \vert\boldsymbol{A}\vert\cos{\theta}$

で表されるので，

$\displaystyle V = h\vert{\bf S}\vert = \vert{bf A}\vert\vert{\bf S}\vert\cos{\theta} = \boldsymbol{A} \cdot{\bf S}$

となります．このとき， $\boldsymbol{A} \cdot{\bf S}$ をこの柱体の有向体積といいます．

$\includegraphics[width=6cm]{VECANALFIG/dirarea.eps}$

上の図のように，面積ベクトル ${\bf S}$ をもつ長方形ABCDと有向平面 $\pi$ を考えます．このとき，長方形ABCDを有向平面 $\pi$ 上に正射影した像をA'B'C'D'とします．長方形ABCDと有向平面 $\pi$ のなす角が $\theta$ のとき，長方形A'B'C'D'の面積を求めてみましょう．まず，面積ベクトル ${\bf S}$ と有向平面 $\pi$ の法線ベクトル $\boldsymbol{n}$ のなす角は $\theta$ であることに気づいて下さい．すると，長方形A'B'C'D'の面積

は $\overline{\rm A'B'} \overline{\rm B'C'}$ ．また， $\overline{\rm A'B'} = \overline{\rm AB}\cos{\theta}$ , $\overline{\rm B'C'} = \overline{\rm BC}$ ．したがって，

$\displaystyle S' = \overline{\rm AB} \overline{\rm BC}\cos{\theta} = \vert{\bf... ...rt{\bf S}\vert\vert\boldsymbol{n}\vert\cos{\theta} = {\bf S}\cdot\boldsymbol{n}$

この議論を一般化して，面積ベクトルが ${\bf S}$ である平面図形と有向平面 $\pi$ があるとき，この平面図形を平面 $\pi$ 上に正射影して得られる図形の面積

は

$\displaystyle S' = {\bf S}\cdot\boldsymbol{n}$

で与えられる．このとき， ${\bf S}\cdot\boldsymbol{n}$ をこの平面の有向平面 $\pi$ 上への正射影の有向面積という．