内積(Inner product)

空間のベクトルにおいて次の3つのことは基本です．(1)和, (2)スカラー倍, (3)内積(スカラー積)．

和とスカラー倍については、すでに学んだので、ここでは空間のベクトルの内積について紹介します。

0でないベクトル $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$とそれらのなす角を $\theta(0 \leq \theta \leq \pi)$とします．このとき, 実数 $\vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert\cos{\theta}$を $\boldsymbol{A}$と $\boldsymbol{B}$の内積(dot product)またはスカラー積といい $\boldsymbol{A} \cdot\boldsymbol{B}$と表します．つまり

$$\boldsymbol{A} \cdot\boldsymbol{B} = \vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert\cos{\theta}$$

$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$のうち少なくとも一方が0のときは, $\boldsymbol{A} \cdot\boldsymbol{B} = 0$と定めます．

定理 1..1  

2つのベクトル $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$に対して， $\boldsymbol{A} = A_{1}\:\boldsymbol{i} + A_{2}\:\boldsymbol{j} + A_{3}\:\boldsy... ...mbol{B} = B_{1}\:\boldsymbol{i} + B_{2}\:\boldsymbol{j} + B_{3}\:\boldsymbol{k}$ならば，

$$\boldsymbol{A} \cdot\boldsymbol{B} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3}$$

である．

問 1..2  

内積の定義と余弦定理を用いて，上記の定理を証明せよ．

例題 1..2  

$\boldsymbol{A} = \:\boldsymbol{i} + \:\boldsymbol{j} + 2\:\boldsymbol{k}$ と $\boldsymbol{B} = -\:\boldsymbol{i} + 2\:\boldsymbol{j} + \:\boldsymbol{k}$ のなす角を求めよ． 解

$$\cos{\theta} = \frac{A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3}}{\vert ... ...}} = \frac{1}{2}, \Rightarrow \theta = \cos^{-1}{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{3}$$

問 1..3  

$\boldsymbol{A} = -\:\boldsymbol{i} + 3\:\boldsymbol{j} + \:\boldsymbol{k}, \boldsymbol{B} = 2\:\boldsymbol{i} + 4\:\boldsymbol{j} - 2\:\boldsymbol{k}$ について, 次の値を求めよ．

(1) $\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{B}$ のなす角 (2) $\boldsymbol{A}$方向の単位ベクトル(単位ベクトルは大きさが1のベクトル)

演習問題1.2

1.

$\boldsymbol{A} = -\:\boldsymbol{i} + 3\:\boldsymbol{j} + \:\boldsymbol{k}, \boldsymbol{B} = 2\:\boldsymbol{i} + 4\:\boldsymbol{j} - 2\:\boldsymbol{k}$とするとき，次の質問に答えよ．

(1)

$\boldsymbol{A}$と $\boldsymbol{B}$のなす角

(2)

$\boldsymbol{A}$方向への単位ベクトル．

2.

${\bf A}= 2{\bf i} + 2{\bf j} - {\bf k}$と ${\bf B} = -{\bf i} -4{\bf j} - {\bf k}$とするとき，次の質問に答えよ．

(1)

${\bf A}$と${\bf B}$の内積

(2)

${\bf A}$と${\bf B}$のなす角