点の運動(motion of objects)

曲線

$$C : \boldsymbol{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)), t \in [a,b]$$

は空間を運動している点Pが描いた軌跡と考えることができます．ここで区間 $[a,b]$ は時間の区間と考え， $\boldsymbol{r}(t)$ を時間 $t$ における物体の位置と考えます．すると 運動 $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)$ に対して， $\boldsymbol{r}^{\prime}(t)$ は運動の 速度ベクトル(velocity)．また， $\boldsymbol{r}^{\prime\prime}(t)$ は 加速度ベクトル(acceleration) となり，それぞれ ${\bf v}(t),\boldsymbol{A}(t)$ で表わします．つまり，

$${\bf v}(t) = \boldsymbol{r}'(t) , \boldsymbol{A}(t)=\boldsymbol{r}''(t)$$

すでに学んだように，接線単位ベクトルは $${{\bf t} = \frac{d \boldsymbol{r}}{ds}}$$ で表わせるので，速度ベクトルは

$${\bf v}(t) = \frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt} = \frac{d\boldsymbol{r}(t)}{ds} \frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dt} {\bf t}$$

となります．よって，速度ベクトルは点の軌跡に対して接線方向のベクトルです．速度ベクトル ${\bf v}$ の大きさ， $${\frac{ds}{dt}}$$ は弧の長さの変化率または速さで $v$ で表されます．つまり，

$$v = \vert{\bf v}\vert = \vert\boldsymbol{r}'(t)\vert = \frac{ds}{dt}$$

次に加速度についてもう少しよく理解するために，速度ベクトルを考えてみましょう．

$${\bf v}(t) = \boldsymbol{r}'(t) = \frac{ds}{dt}{\bf t} = v{\bf t}$$

の両辺を微分すると

$$\boldsymbol{A} = \frac{d{\bf v}}{dt} = \frac{dv}{dt}{\bf t} + v\f... ...f t}}{dt} = \frac{dv}{dt}{\bf t} + v\vert\frac{d{\bf t}}{dt}\vert\boldsymbol{n}$$

ここで

$$\frac{d{\bf t}}{dt} = \frac{d{\bf t}}{ds}\frac{ds}{dt} = v\frac{d{\bf t}}{ds}$$

より

$$\vert\frac{d{\bf t}}{dt}\vert = \vert v \frac{d{\bf t}}{ds} \vert = v \vert\frac{d{\bf t}}{ds}\vert = v\kappa$$

これより

$$\boldsymbol{A} = \frac{dv}{dt}{\bf t} + v^{2}\kappa\boldsymbol{n}$$

$$= a_{{\bf t}} + a_{\boldsymbol{n}}$$

これが加速度の接線方向と法線方向への分解です．つまり

$$a_{{\bf t}} = (\boldsymbol{A}\cdot{\bf t}){\bf t} , a_{\boldsymbol{n}} = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{n}$$

例題 2..12  

$$\boldsymbol{r}(t) = (\cos\pi t, \sin\pi t, t)$$

$t = 1$ のとき ${\bf v}(t),\boldsymbol{A}(t),v,{\bf t},\boldsymbol{n}$ を求めてみましょう．

解

$$\boldsymbol{r}(t) = (\cos\pi t, \sin\pi t, t)$$

$${\bf v}(t) = \boldsymbol{r}'(t) = (-\pi\sin\pi t, \pi\cos\pi t, 1)$$

$$\boldsymbol{A}(t) = \boldsymbol{r}''(t) = (-\pi^{2}\cos\pi t, -\pi^{2}\sin\pi t, 0)$$

より $t = 1$ のとき

$${\bf v}(1) = (0, \pi, 1)$$

$$\boldsymbol{A}(1) = (\pi^{2}, 0, 0)$$

となるので

$$v = \vert{\bf v}(1)\vert = \sqrt{\pi^{2} + 1}$$

$${\bf t} = \frac{{\bf v}(1)}{\vert{\bf v}(1)\vert} = \frac{(0, \pi, 1)}{\sqrt{\pi^{2} + 1}}$$

ここで $\boldsymbol{n}$ を求めるには色々な方法があります．ここでは計算が簡単な方法を考えます．

$$\boldsymbol{A} = a_{{\bf t}} + a_{\boldsymbol{n}},a_{{\bf t}} = (\boldsymbol{A}\cdot{\bf t}){\bf t} = 0$$

より

$$a_{\boldsymbol{n}} = \boldsymbol{A} - \boldsymbol{A}_{{\bf t}} = (\pi^{2}, 0, 0)$$

したがって，

$$\boldsymbol{n} = \frac{a_{\boldsymbol{n}}}{\vert a_{\boldsymbol{n}}\vert} = (1, 0, 0)．$$

他にも

$$v = \vert{\bf v}(t)\vert = \sqrt{\pi^{2}\sin^{2}\pi t + \pi^{2}\cos^{2}\pi t + 1} = \sqrt{\pi^{2} + 1} より$$

$$a_{{\bf t}} = \frac{dv}{dt} = 0$$

よって $${\boldsymbol{n} = \frac{a_{\boldsymbol{n}}}{\vert a_{\boldsymbol{n}}\vert} = (1, 0, 0)}$$ と求めることができます．

接線単位ベクトル ${\bf t}$，主法線ベクトル $\boldsymbol{n}$ と直交するベクトル

$$\boldsymbol{B} = {\bf t} \times \boldsymbol{n}$$

を 従法線単位ベクトル(binormal unit vector) といいます．また，

$$\frac{d \boldsymbol{B}}{ds} = - \tau \boldsymbol{n}$$

を満たす $\tau$ をねじれ率(torsion)といいます．

ここで，これまでにでてきた3つの単位ベクトル ${\bf t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{B}$ について調べてみましょう．図2.2参照．

図: 接触平面，法平面，展平面

${\bf t}$と $\boldsymbol{n}$で作る面を接触平面， $\boldsymbol{n}$と $\boldsymbol{B}$で作る面を法平面，${\bf t}$と $\boldsymbol{B}$で作る面を展平面といいます．

まず， ${\bf t}, \boldsymbol{n}, \boldsymbol{B}$ は互いに直交するベクトルです．また，これらのベクトルの間には Frenet-Serret (1819-1885) によって示された次の関係が成り立ちます．

定理 2..3  

[Frenet-Serret]

$$\frac{d {\bf t}}{ds} = \kappa \boldsymbol{n}, \frac{d \boldsymbol... ... t} + \tau \boldsymbol{B}, \frac{d \boldsymbol{B}}{ds} = - \tau \boldsymbol{n}$$

証明 式2.1 より $${\frac{d {\bf t}}{ds} = \kappa \boldsymbol{n}}$$ また，ねじれ率の定義より $${\frac{d \boldsymbol{B}}{ds} = - \tau \boldsymbol{n}}$$．次に． $\boldsymbol{n} \times {\bf t}$ を $s$ で微分すると

$$\frac{d \boldsymbol{n}}{ds} = \frac{d \boldsymbol{B}}{ds} \times ... ...ldsymbol{B} \times \frac{d {\bf t}}{ds} = \tau \boldsymbol{B} - \kappa {\bf t}$$

例題 2..13  

曲線 $\boldsymbol{r} = 2a(\sin^{-1}{t} + t\sqrt{1- t^2})\:\boldsymbol{i} + 2at^2\:\boldsymbol{j} + 4at\:\boldsymbol{k}$ について，次のものを求めよう． ただし，$a$ は任意の正の定数とする．

$(a)$ $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ に対する弧長

$(b)$ 接線単位ベクトル ${\bf t}$

$(c)$ 主法線単位ベクトル $\boldsymbol{n}$ と 曲率 $\kappa$

$(d)$ 従法線単位ベクトル $\boldsymbol{B}$ とねじれ率 $\tau$

解 (a) $${\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = 4a \sqrt{1 - t^2}\:\boldsymbol{i} + 4at\:\boldsymbol{j} + 4a\:\boldsymbol{k}}$$ より

$$\vert\frac{d \boldsymbol{r}}{dt}\vert = \sqrt{16a^2 (1- t^2) + 16a^2 t^2 + 16a^2} = \sqrt{32 a^2} = 4\sqrt{2} a$$

したがって，

$$s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vert \frac{d \boldsymbol{r}}{dt}\vert dt = 4\sqrt{2} a (t_{2} - t_{1})$$

(b)

$${\bf t} = \frac{d \boldsymbol{r}}{ds} = \frac{d \boldsymbol{r}/dt... ...-t^2}\:\boldsymbol{i} + 4at\:\boldsymbol{j} + 4a\:\boldsymbol{k}}{4\sqrt{2} a}$$

(c) $${\frac{d {\bf t}}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{-t}{\sqrt{1 - t^2}}\:\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j}), \frac{ds}{dt} = 4\sqrt{2} a}$$ より

$$\kappa = \vert\frac{d {\bf t}}{ds}\vert = \vert\frac{d {\bf t}/dt... ...vert = \frac{1}{8a}\sqrt{\frac{t^2}{1 - t^2} + 1} = \frac{1}{8a \sqrt{1 - t^2}}$$

また， $${\boldsymbol{n} = \frac{1}{\kappa}\frac{d {\bf t}}{ds}}$$ より

$$\boldsymbol{n} = -t\:\boldsymbol{i} + \sqrt{1 - t^2}\:\boldsymbol{j}$$

(d)

$$\boldsymbol{B} = {\bf t} \times \boldsymbol{n} = \frac{1}{\sqrt{2... ...{\sqrt{2}}(-\sqrt{1 - t^2}\:\boldsymbol{i} -t\:\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}$$

また，

$$\frac{d \boldsymbol{B}}{ds} = \frac{d \boldsymbol{B}/dt}{ds/dt} =... ...frac{t}{\sqrt{1- t^2}}\:\boldsymbol{i} -\boldsymbol{j}) = - \tau \boldsymbol{n}$$

より $${\tau = \frac{1}{8a \sqrt{1 - t^2}}}$$

演習問題2.2

1.

2点 $(-1,0,2),(1,4,3)$ を通る直線の方程式を求めよ．

2.

平面曲線 $${\boldsymbol{r}(t) = \sin{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j}}$$ を描け．

3.

$${t = \frac{\pi}{4}}$$における $${\boldsymbol{r}(t) = \cos{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j}}$$の接線の方程式を求めよ．

4.

$${\boldsymbol{r}(t) = \cos{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j} + t\:\boldsymbol{k}}$$ の $0 \leq t \leq 2\pi$ の部分の長さを求めてみましょう．.

5.

$$\boldsymbol{r}(t) = (\cos\pi t, \sin\pi t, t)$$

とする． $t = 1$のとき， ${\bf v}(t),\boldsymbol{A}(t),v,{\bf t},\boldsymbol{n}$を求めよ．

6.

$\boldsymbol{r} = 2a(\sin^{-1}{t} + t\sqrt{1- t^2})\:\boldsymbol{i} + 2at^2\:\boldsymbol{j} + 4at\:\boldsymbol{k}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし， $a$は正の任意の定数とする．

(a)

$t_{1} \leq t \leq t_{2}$における弧の長さ

(b)

接線単位ベクトル${\bf t}$

(c)

法線ベクトル $\boldsymbol{n}$と曲率$\kappa$

(d)

従法線ベクトル $\boldsymbol{B}$とねじれ率$\tau$

7.

弧長 $s$ をパラメターとして曲線 $${\boldsymbol{r}(t) = 5\cos{t}\boldsymbol{i} + 5\sin{t}\:\boldsymbol{j}}$$ を表わせ．

8.

曲線 $y = f(x)$ の曲率を求めよ．