ベクトルの微分・積分

実数

の部分集合

に属する各点

に対して，実関数

が与えられるとき，1つのベクトル

を考えることができます．このベクトル $\boldsymbol{F}(t)$ を

から $R^{3}$ への1変数ベクトル値関数(vector-valued function)または ベクトル関数(vector function) といい，

$\displaystyle \boldsymbol{F}(t) = (x(t),y(t),z(t))$

または

$\displaystyle \boldsymbol{F}(t) = x(t)\:\boldsymbol{i} + y(t)\:\boldsymbol{j} + z(t)\:\boldsymbol{k}$

で表わします．

しばしば $\boldsymbol{F}(t)$ は幾何学的に実軸から原点と点を結ぶベクトルへの写像として扱われます．

例題 2..1

$\displaystyle{\boldsymbol{F}(t) = t\cos{t} \:\boldsymbol{i} + t\sin{t} \:\boldsymbol{j} + t^2 \:\boldsymbol{k}}$ のとき， $\boldsymbol{F}(t)$ の軌跡を求めてみましょう．

解 $\boldsymbol{F}(t)$ の成分は $x = t\cos{t}, y = t\sin{t}, z = t^2$ であるから，となり， $\boldsymbol{F}(t)$ の軌跡は放物面上にあることが分かります．

定義 2..1

ベクトル関数 $\boldsymbol{F}(t)$ において， $t \rightarrow t_{0}$ のとき， $\boldsymbol{F}(t) \rightarrow {\bf L}$ ならば， $\boldsymbol{F}(t)$ の極限値は ${\bf L}$ であるといい，次のように表わす．

$\displaystyle \lim_{t \rightarrow t_{0}}\boldsymbol{F}(t) = {\bf L}$

極限値の定義は1変数関数のときと同じなので，たぶん連続性の定義も1変数関数のときと同じになると期待するでしょう．実際そのとうりです．

定義 2..2

$\lim_{t \rightarrow t_{0}}\boldsymbol{F}(t) = \boldsymbol{F}(t_{0})$ が成り立つとき，ベクトル関数 $\boldsymbol{F}(t)$ は $t = t_{0}$ で連続であるという．また，区間

のすべての

で連続なとき， $\boldsymbol{F}(t)$ は区間

で連続であるといい， $\boldsymbol{F}(t) \in C[a,b]$ と表わす．

このように1変数関数における様々な定義はベクトル関数へと継承されます．

定義 2..3

ベクトル関数 $\boldsymbol{F}(t)$ は $t = t_{0}$ において，

$\displaystyle \lim_{t \rightarrow t_{0}}\frac{\boldsymbol{F}(t) - \boldsymbol{F}(t_{0})}{t - t_{0}} = \boldsymbol{A}$

が存在するとき $t = t_{0}$ で微分可能(differentiable) であるという．また，この極限値 $\boldsymbol{A}$ を点 $t_{0}$ における微分係数といい， $\boldsymbol{F}^{\prime}(t_{0})$ で表わす．

次の節で学びますがベクトル $\boldsymbol{F}^{\prime}(t_{0})$ の方向は， $\boldsymbol{F}(t)$ によって描かれる曲線の $t = t_{0}$ での接線方向になります．

ベクトルの和やスカラー倍がそれぞれの対応する成分の和やスカラー倍で定義されたように，ベクトル関数の極限値，微分係数，不定積分の計算は，ベクトル関数の成分の極限値，微分係数，不定積分より求めることができます．

定理 2..1

$\boldsymbol{F}(t) = x(t)\:\boldsymbol{i} + y(t)\:\boldsymbol{j} + z(t)\:\boldsymbol{k}$ とすると，次のことが成り立つ．

$\displaystyle{(a) \lim_{t \rightarrow t_{0}}\boldsymbol{F}(t) = \lim_{t \righ... ...ow t_{0}}y(t)\:\boldsymbol{j} + \lim_{t \rightarrow t_{0}}z(t)\:\boldsymbol{k}}$

$\displaystyle{(b) \boldsymbol{F}(t) \mbox{は連続} \Leftrightarrow x(t), y(t), z(t) \mbox{が共に連続}}$

$\displaystyle{(c) \boldsymbol{F} \in C'[a,b] \Rightarrow \boldsymbol{F}^{\pri... ...bol{i} + y^{\prime}(t_{0})\:\boldsymbol{j} + z^{\prime}(t_{0})\:\boldsymbol{k}}$

$\displaystyle{(d) \boldsymbol{F} \in C[a,b] \Rightarrow \int_{a}^{b}\boldsymb... ...i} + \int_{a}^{b} y(t)dt\:\boldsymbol{j} + \int_{a}^{b} z(t)dt\:\boldsymbol{k}}$

証明 (a)

$\displaystyle \vert\boldsymbol{F}(t) - {\bf L}\vert$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \sqrt{(x(t) - l_{1})^2 + (y(t) - l_{2})^2 + (z(t) - l_{3})^2 }$

より， $x(t) \rightarrow l_{1}, y(t) \rightarrow l_{2}, z(t) \rightarrow l_{3}$ ならば， $\boldsymbol{F}(t) \rightarrow {\bf L}$ ．また， $\boldsymbol{F}(t) \rightarrow {\bf L}$ ならば，

$\displaystyle \sqrt{(x(t) - l_{1})^2 + (y(t) - l_{2})^2 + (z(t) - l_{3})^2 } \rightarrow 0$

ここで，平方根の中はすべて2乗の和であることに注意すると

$\displaystyle (x(t) - l_{1})^2 \rightarrow 0, (y(t) - l_{2})^2 \rightarrow 0, (z(t) - l_{3})^2 \rightarrow 0$

となる．よって $x(t) \rightarrow l_{1}, y(t) \rightarrow l_{2}, z(t) \rightarrow l_{3}$ より，

$\displaystyle \lim_{t \rightarrow t_{0}}\boldsymbol{F}(t) = \lim_{t \rightarrow... ...row t_{0}}y(t)\:\boldsymbol{j} + \lim_{t \rightarrow t_{0}}z(t)\:\boldsymbol{k}$

(b)，(c)，(d)の証明は演習問題にまわします．

例題 2..2

$\displaystyle{\boldsymbol{F}(t) = t^{2}\:\boldsymbol{i} + t\:\boldsymbol{j} + t^{3}\:\boldsymbol{k}}$ のとき， $\boldsymbol{F}^{\prime}(t)$ を求めてみましょう．

解それぞれの成分を微分することにより

$\displaystyle \boldsymbol{F}^{\prime}(t) = 2t\:\boldsymbol{i} + \:\boldsymbol{j} + 3t^{2}\:\boldsymbol{k}$

$\boldsymbol{F}(t),$ がについて微分可能なベクトル関数ならば，次のことが成り立ちます．

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} (1) & (\boldsymbol{F}(t) \pm \mbox{\boldmat... ...ymbol{F}(t) \times \mbox{\boldmath $G$}^{\prime}(t) \end{array}\end{displaymath}$

例題 2..3

$\boldsymbol{F} = 5t^2\:\boldsymbol{i} + t\:\boldsymbol{j} - t^2\:\boldsymbol{k},$ $= \sin{t}\:\boldsymbol{i} - \cos{t}\:\boldsymbol{j}$ のとき，次のものを求めよ． (1) $(\boldsymbol{F}\cdot$ (2) $(\boldsymbol{F} \times$ 解 $F' = (5t^2)'\:\boldsymbol{i} + (t)'\:\boldsymbol{j} + - (t^2)' \:\boldsymbol{k}... ... (\cos{t})'\:\boldsymbol{j} = \cos{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j}$ .

(1)

$\displaystyle (\boldsymbol{F}\cdot$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$G$}$ $\displaystyle )'$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \boldsymbol{F}'\cdot$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$G$}$ $\displaystyle + \boldsymbol{F}\cdot$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$G$}$ $\displaystyle '$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (10t \:\boldsymbol{i} + \:\boldsymbol{j} - 2t \:\boldsymbol{k})\c... ... - t^2\:\boldsymbol{k})\cdot(\cos{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (5t^2 - 1)\cos{t} + 11\sin{t}$

(2)

$\displaystyle (\boldsymbol{F}\times$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$G$}$ $\displaystyle )'$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \boldsymbol{F}'\times$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$G$}$ $\displaystyle + \boldsymbol{F}\times$ $\displaystyle \mbox{\boldmath$G$}$ $\displaystyle '$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (10t \:\boldsymbol{i} + \:\boldsymbol{j} - 2t \:\boldsymbol{k})\t... ... t^2\:\boldsymbol{k})\times (\cos{t}\:\boldsymbol{i} + \sin{t}\:\boldsymbol{j})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \b... ...oldsymbol{k}\\ 5t^2 & t & -t^2\\ \cos{t} & \sin{t} & 0 \end{array}\right\vert$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (t^2 \sin{t} - 2t \cos{t})\:\boldsymbol{i} - (t^2 \cos{t} + 2t \sin{t})\:\boldsymbol{j} + (5t^2 \sin{t} - \sin{t} - 11t\cos{t})\:\boldsymbol{k}$

例題 2..4

ベクトル関数 $\boldsymbol{F}(t)$ の大きさ $\vert\boldsymbol{F}(t)\vert$ が定数のとき， $\boldsymbol{F}(t)$ と $\boldsymbol{F}^{\prime}(t)$ は全てのにおいて直交することを示してみましょう．

解 $\vert\boldsymbol{F}(t)\vert = c$ より， $\vert\boldsymbol{F}(t)\vert^2 = \boldsymbol{F}(t) \cdot\boldsymbol{F}(t) = c^{2}$ . よってベクトル関数の微分法より

$\displaystyle (\boldsymbol{F}(t) \cdot\boldsymbol{F}(t))^{\prime} = 2\boldsymbol{F}^{\prime}(t) \cdot\boldsymbol{F}(t) = 0$

したがって，内積が0より $\boldsymbol{F}(t)$ と $\boldsymbol{F}^{\prime}(t)$ は直交します．

任意のベクトル関数と $\alpha$ 定数， $\boldsymbol{C}$ 定ベクトルについて次のことが成り立ちます．

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} (1) & \int (\boldsymbol{F} + \mbox{\boldmat... ...oldsymbol{F}}{dt}\times \mbox{\boldmath $G$}\;dt\\ \end{array}\end{displaymath}$

例題 2..5

任意のベクトル関数 $\boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}(t)$ に関して， $\int \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}'\;dt = \frac{1}{2}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}$ を証明せよ．解 $\int \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}'\;dt = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F} - \int\boldsymbol{F}'\cdot\boldsymbol{F}\;dt$ ．したがって， $\int \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}'\;dt = \frac{1}{2}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}$ .

問 2..1

$\int_{2}^{3}\boldsymbol{F}\cdot\frac{d\boldsymbol{F}}{dt}\;dt$ を求めよ．ただし， $\boldsymbol{F}(2) = 2\:\boldsymbol{i} -\boldsymbol{j} + 2\:\boldsymbol{k}, \boldsymbol{F}(3) = 4\:\boldsymbol{i} - 2\:\boldsymbol{j} + 3\:\boldsymbol{k}$

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