確率変数

数理統計演習問題 4

(1) 男児と女児の出生率が等しいと仮定して，4児を持つ家庭の確率変数の値と確率分布を求めよ．

(2) 1つの袋に赤玉4個と白玉6個が入っている．同時に3個の球を取り出す場合，赤玉の個数を表わす確率変数と確率分布を求め，そのグラフをかこう．また， $P(X = 1), P(1 \leq X \leq 3)$ を求めよう．

3. 与えられたに対して，関数 $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{ll} k & (a < x \leq b) \\ 0 & (x \leq a, x > a) \end{array}\right. }$

が与えられている．

(a): が確率密度関数であるためには，定数はどのような値であるか．
(b): $a \leq c \leq b$ であるに対して $P(X \leq c)$ を求めよ．

4. 確率密度が

$\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 0 , x \leq 0 \\ 6x(1 - x) & 0 < x \leq 1 \\ 0 & x > 1 \end{array}\right.$

で与えられている．

(a): 分布関数を求めよ．
(b): $P(X \leq 0.7)$ , $P(0.2 < X \leq 0.8)$ を求めよ．

5. 関数

$\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{cl} e^{-x} &, x \geq 0 \\ 0 &, x \leq 0 \end{array}\right.$

が与えられている．

(a): は確率密度関数を与えることを示せ．
(b): $P(X \leq a) = 0.1$ , であるようなを求めよ．

問題解答

1. を4児をもつ家庭の男児の数とすると，

$\displaystyle P(x = 0) = \binom{4}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$

$\displaystyle P(x = 1) = \binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{16}$

$\displaystyle P(x = 2) = \binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{6}{16}$

$\displaystyle P(x = 3) = \binom{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{16}$

$\displaystyle P(x = 4) = \binom{4}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$

よってその確率分布

は

$\displaystyle f(i) = P(X = i) = \binom{4}{i}\left(\frac{1}{2}\right)^4$

で与えられる．

2. 10個から3個取り出す組み合わせは ${}_{10} C_{3} = 120$ 通り．また，3個中赤がゼロということは，白が3個と同じことなので，6個の白から3個取り出すこととなり，その組み合わせは ${}_6 C_{3} = 20$ 通り．よって，を赤玉の個数とおくと，

$\displaystyle P_{r}(x = 0) = \frac{{}_6 C_{3}}{{}_{10} C_{3}} = \frac{6\cdot 5 \cdot 4}{10\cdot 9 \cdot 8} = \frac{1}{6}$

3個中1個赤ということは残りの2個は白なので

$\displaystyle P_{r}(X = 1) = \frac{{}_4 C_{1} \cdot {}_6 C_{2}}{{}_{10} C_{3}} ... ... 6 \cdot 5}{2\cdot 1}\cdot \frac{3\cdot2\cdot1}{10\cdot 9\cdot8} = \frac{1}{2}$

同様にして，

$\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert cccc\vert} \hline X & 0 & 1 & 2 & ... ...frac{1}{2} & \frac{6}{20} & \frac{1}{30} \hline \end{array} \end{displaymath}$

$\displaystyle P_{r}(1 \leq X \leq 3) = 1 - P_{r}(X = 0) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

(a) が確率密度関数であるためには，

$f(x) \geq 0 (-\infty < x < \infty)$
$\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = 1$

を満たしていることを示せばよい．そこで，

1. 定数を0以上とすれば $f(x) \geq 0$ は満たされる．

2． $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = \int{a}^{b}kdx = kx\mid_{a}^{b} = k(b-a)$ より $k = \frac{1}{b-a}$ と定めればよい．

(b) $P(X \leq c) = F(c) = \int_{-\infty}^{c}f(x)dx$ より

$\displaystyle P(X \leq c) = \int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{c}\frac{1}{b-a}dx = \frac{c-a}{b-a}$

となる．

(4)

(a) 分布関数は

$\displaystyle F(x) = P_{r}(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$

で与えられることに注意します．

$x \leq 0$ のとき

$\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0$

のとき

$\displaystyle F(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{0} 0 dt + \int_{0}^{x} 6t(1-t)dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0 + \left[3t^2 - 2t^3\right]_{0}^{x} = 3x^2 - 2x^3$

のとき

$\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{0} 0 dt + \int_{0}^{1} 6t(1-t) dt + \int_{1}^{x} 0 dt = 1$

(b)

$\displaystyle P_{r}(X \leq 0.7)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle P_{r}(0 < X \leq 0.7) = F(0.7) - F(0) = \left[F(x)\right]_{0}^{0.7}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[3x^2 - 2x^3\right]_{0}^{0.7} = 3(0.7)^2 - 2(0.7)^3$

$\displaystyle P_{r}(0.2 < X \leq 0.8)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[F(x)\right]_{0.2}^{0.8} = \left[3x^2 - 2x^3\right]_{0.2}^{0.8}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 3(0.8)^2 - 2(0.8)^3 - (3(0.2)^2 - 2(0.2)^3)$

(a)

$f(x) \geq 0$ と $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = 1$ を示せばよいでしょう．

1. $f(x) = e^{-x}$ は指数関数より全てので.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-\infty}^{0}f(x) dx + \int_{0}^{\infty}f(x) dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{-\infty}^{0} 0 dx + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left[0 + -e^{-x} \right]_{0}^{\infty -} = 1$