確率変数

数理統計演習問題 4

(1) 男児と女児の出生率が等しいと仮定して，4児を持つ家庭の確率変数$X$の値と確率分布$f$を求めよ．

(2) 1つの袋に赤玉4個と白玉6個が入っている．同時に3個の球を取り出す場合，赤玉の個数を表わす確率変数$X$と確率分布$f$を求め，そのグラフをかこう．また， $P(X = 1), P(1 \leq X \leq 3)$を求めよう．

3. 与えられた $a,b (a < b)$に対して，関数 $${f(x) = \left\{\begin{array}{ll} k & (a < x \leq b) \\ 0 & (x \leq a, x > a) \end{array}\right. }$$

が与えられている．

(a)

$f(x)$が確率密度関数であるためには，定数$k$はどのような値であるか．

(b)

$a \leq c \leq b$である$c$に対して $P(X \leq c)$を求めよ．

4. 確率密度が

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 0 , x \leq 0 \\ 6x(1 - x) & 0 < x \leq 1 \\ 0 & x > 1 \end{array}\right.$$

で与えられている．

(a)

分布関数$F(x)$を求めよ．

(b)

$P(X \leq 0.7)$, $P(0.2 < X \leq 0.8)$を求めよ．

5. 関数

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cl} e^{-x} &, x \geq 0 \\ 0 &, x \leq 0 \end{array}\right.$$

が与えられている．

(a)

$f(x)$は確率密度関数を与えることを示せ．

(b)

$P(X \leq a) = 0.1$, $P( X > b) = 0.05$であるような$a,b$を求めよ．

問題解答

1. $X$を4児をもつ家庭の男児の数とすると，

$$P(x = 0) = \binom{4}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$

$$P(x = 1) = \binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{16}$$

$$P(x = 2) = \binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{6}{16}$$

$$P(x = 3) = \binom{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{16}$$

$$P(x = 4) = \binom{4}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$

よってその確率分布$f$は

$$f(i) = P(X = i) = \binom{4}{i}\left(\frac{1}{2}\right)^4$$

で与えられる．

2. 10個から3個取り出す組み合わせは ${}_{10} C_{3} = 120$通り．また，3個中赤がゼロということは，白が3個と同じことなので，6個の白から3個取り出すこととなり，その組み合わせは ${}_6 C_{3} = 20$通り．よって，$X$を赤玉の個数とおくと，

$$P_{r}(x = 0) = \frac{{}_6 C_{3}}{{}_{10} C_{3}} = \frac{6\cdot 5 \cdot 4}{10\cdot 9 \cdot 8} = \frac{1}{6}$$

3個中1個赤ということは残りの2個は白なので

$$P_{r}(X = 1) = \frac{{}_4 C_{1} \cdot {}_6 C_{2}}{{}_{10} C_{3}} ... ... 6 \cdot 5}{2\cdot 1}\cdot \frac{3\cdot2\cdot1}{10\cdot 9\cdot8} = \frac{1}{2}$$

同様にして，

$$\begin{array}{\vert c\vert cccc\vert} \hline X & 0 & 1 & 2 & ... ...frac{1}{2} & \frac{6}{20} & \frac{1}{30} \hline \end{array}$$

$$P_{r}(1 \leq X \leq 3) = 1 - P_{r}(X = 0) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

3.

(a) $f(x)$が確率密度関数であるためには，

1. $f(x) \geq 0 (-\infty < x < \infty)$
2. $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = 1$

を満たしていることを示せばよい． そこで，

1. 定数$k$を0以上とすれば $f(x) \geq 0$は満たされる．

2． $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = \int{a}^{b}kdx = kx\mid_{a}^{b} = k(b-a)$より $k = \frac{1}{b-a}$と定めればよい．

(b) $P(X \leq c) = F(c) = \int_{-\infty}^{c}f(x)dx$より

$$P(X \leq c) = \int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{c}\frac{1}{b-a}dx = \frac{c-a}{b-a}$$

となる．

(4)

(a) 分布関数$F(x)$は

$$F(x) = P_{r}(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$$

で与えられることに注意します．

$x \leq 0$のとき

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0$$

$0 < x < 1$のとき

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{0} 0 dt + \int_{0}^{x} 6t(1-t)dt$$

$$= 0 + \left[3t^2 - 2t^3\right]_{0}^{x} = 3x^2 - 2x^3$$

$x > 1$のとき

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{0} 0 dt + \int_{0}^{1} 6t(1-t) dt + \int_{1}^{x} 0 dt = 1$$

(b)

$$P_{r}(X \leq 0.7) = P_{r}(0 < X \leq 0.7) = F(0.7) - F(0) = \left[F(x)\right]_{0}^{0.7}$$

$$= \left[3x^2 - 2x^3\right]_{0}^{0.7} = 3(0.7)^2 - 2(0.7)^3$$

$$P_{r}(0.2 < X \leq 0.8) = \left[F(x)\right]_{0.2}^{0.8} = \left[3x^2 - 2x^3\right]_{0.2}^{0.8}$$

$$= 3(0.8)^2 - 2(0.8)^3 - (3(0.2)^2 - 2(0.2)^3)$$

4.

(a)

$f(x) \geq 0$ と $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = 1$を示せばよいでしょう．

1. $f(x) = e^{-x}$は指数関数より全ての$x$で$f(x) > 0$.

2.

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{0}f(x) dx + \int_{0}^{\infty}f(x) dx$$

$$= \int_{-\infty}^{0} 0 dx + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$$

$$= \left[0 + -e^{-x} \right]_{0}^{\infty -} = 1$$

(b) $P_{r}(X \leq a) = 0.1$を満たす$a$を求めます．

$$P_{r}(X \leq a) = P_{r}(X \leq 0) + P_{r}(0 \leq X \leq a) = \int_{0}^{a}e^{-x}dx = 1 - e^{-a} = 0.1$$

より $e^{-a} = 0.9$．したがって， $a = -\log{0.9}$

$$P_{r}(X > b) = 1 - P_{r}(X \leq b) = 1 - (1 - e^{-b}) = e^{-b}$$

より $P_{r}(X > b) = 0.05$を満たす$b$は

$$b = - \log{0.05}$$