確率の公理

数理統計演習問題 3

1. $A$ = [さいころを4回投げて少なくとも1回6の目がでる]. $B$ = [2個のさいころを同時に24回投げて少なくとも1回2個とも6の目がでる] とするとき，

(a)

$P(A)$を求めよう．

(b)

$P(B)$を求めよう．

2. ある患者がある種の症状を訴えてきた．医師の経験から，同じ年齢層の人がその症状を訴えるとき，約5%の人がガンであることを知っている．一方，ある精密検査によって真のガン患者に対しては85%の陽性反応を示し，ガン患者でない人にも5%の陽性反応を示す．もしある患者がその精密検査の結果陽性反応を示した場合，その患者がガン患者である確率を求めよう．

3. 次の関係を示そう．

(a)

$P(\overline{A \cup B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})$

(b)

$P(\overline{A \cap B}) = P(\overline{A} \cup \overline{B})$

(c)

$B$と$C$が互いに排反ならば， $P((B \cup C) \mid A) = P(B \mid A) + P(C \mid A)$

問題解答

1.

(a) 4回投げて少なくとも1回6の目がでるという事象$A$の余事象 $\overline A$は，4回投げて一度も6の目がでないとなります．ここで，それぞれの回に6の目がでない確率は $${\frac{5}{6}}$$に注意すると，

$$P_{r}(\overline A) = \left(\frac{5}{6}\right)^4$$

となるので，これより，

$$P_{r}(A) = 1 - P_{r}(\overline A) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{671}{1296}$$

(b) 2個のさいころを同時に24回投げて少なくとも1回2個とも6の目がでるという事象$B$を考えます．まず，2個のさいころを同時に投げたとき，2個とも6の目がでる確率は $${\frac{1}{36}}$$．

ここで，$B$の余事象 $\overline B$は，2個のさいころを同時に24回投げて一度も2個両方は6の目ではないとなります． したがって，

$$P_{r}(\overline B) = \left(1 - \frac{1}{36}\right)^{24} = \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$$

これより

$$P_{r}(B) = 1 - P_{r}(\overline B) = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} = 0.491$$

2 $A =$「真のガン患者」，$B =$「精密検査で陽性反応がでた患者」とおくと質問は，患者がその精密検査の結果陽性反応を示した場合にガン患者である確率を求めることです．これは条件付き確率を用いると次のように表わせます．

$$P_{r}(A \vert B)$$

また， $P_{r}(A) = 0.05$， $P_{r}(B \vert A) = 0.85$， $P_{r}(B \vert \overline A) = 0.05$が分っていることに注意します． ここで，Bayesの定理を用いると

$$B = B \cap \Omega = B \cap (A \cup \overline A) = (B \cap A ) \cup (B \cap \overline A)$$

より

$$(1) P_{r}(B) = P_{r}(B \cap A) + P_{r}(B \cap \overline A) = P_{r}(A)P_{r}(B\vert A) + P_{r}(\overline A)P_{r}(B\vert\overline A)$$

$$= 0.05 \cdot 0.85 + 0.95 \cdot 0.05 = 0.9$$

$$(2) P_{r}(A \vert B) = \frac{P_{r}(A \cap B)}{P_{r}(B)} = \frac{P_{r}(A) P_{r}(B\vert A)}{P_{R}(B)} = \frac{P_{r}(A) P_{r}(B\vert A)}{P_{R}(B)}$$

$$= \frac{0.05 \cdot 0.85}{0.05 \cdot 0.85 + 0.95 \cdot 0.05} = \frac{0.425}{0.9} = 0.47$$

別解

図: Bayesの定理

3.

(a)

$$x \in \overline{A \cup B} \Leftrightarrow x \not\in A \cup B$$

$$\Leftrightarrow x \not\in A {\rm and} x \not\in B$$

$$\Leftrightarrow x \in \overline A {\rm and} x \in \overline B$$

$$\Leftrightarrow x \in \overline A \cap x \in \overline B$$

これより，

$$\overline{A \cup B} = \overline A \cap \overline B$$

したがって，

$$P(\overline{A \cup B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})$$

(b)

$$x \in \overline{A \cap B} \Leftrightarrow x \not\in A \cap B$$

$$\Leftrightarrow x \not\in A {\rm or} x \not\in B$$

$$\Leftrightarrow x \in \overline A {\rm or} x \in \overline B$$

$$\Leftrightarrow x \in \overline A \cup x \in \overline B$$

これより，

$$\overline{A \cap B} = \overline A \cup \overline B$$

したがって，

$$P(\overline{A \cap B}) = P(\overline{A} \cup \overline{B})$$

(c) $B$と$C$が互いに排反ならば，$B \mid A$と$C \mid A$も互いに排反となるので，

$$P((B \cup C) \mid A) = P(B \mid A \cup C \mid A) = P(B \mid A) + P(C \mid A)$$