確率の定義

数理統計演習問題 2

1. 1個のさいころを6回投げるとき，次の確率を求めよう．

(a)

1の目が1回出る．

(b)

1の目が4回出る．

(c)

1の目が出るのは4回以下である．

(d)

1の目が出るのは5回以上である．

2. 1つの袋に白玉が5個，赤玉が3個，黒玉が2個入っている．その中から4個の球を取り出すとき，次の確率を求めよう．

(a)

全部が白である場合．

(b)

白がちょうど2個である場合．

(c)

白が2個以内．

(d)

白が2個，赤が2個．

(e)

白，赤，黒がともに含まれている場合

3. 1から10までの番号のついたカードがある．これらのカードを勝手に1列に並べるとき，次の確率を求めよう．

(a)

1から10までがその順に並ぶ場合

(b)

4のカードがちょうど4番目にある場合

(c)

1が最初に，4が4番目にある場合

4. 広い方眼紙に縦横に8cm間隔に線を引いて，8cm四方の正方形が沢山かかれているとする．直径が3cmの円板を投げるとき，次の確率を求めよう．

(a)

円板が1つの正方形の中に入る．

(b)

円板が正方形の辺にかかる．

(c)

円板が4つの正方形にまたがる．

5. 4個の白玉と6個の赤玉のはいっている袋がある．この袋から，同時に2個を取り出すとき次の確率を求めよう．

(a)

2個とも白玉である確率

(b)

1個だけ白玉である確率

(c)

少なくとも1個は白玉である確率

問題解答

(a) まず，場合の数を使って確率を求めてみましょう． $X_{i} = [6回中i回1の目がでる]$とおきます．

さいころを6回投げると，目のでかたは全部で ${}_6 \Pi_{6} = 6^6$通りあります．次に1の目が6回中1回出る場合の数は何通りあるか数えてみましょう．

一投目で1の目が出ると，残りの5回は1以外なので， ${}_5 \Pi_{5}$通り．同じことが二投目，三投目，... でも言えるので，全部で

$${}_6 C_{1} \cdot {}_5 \Pi_{5} = 6 \cdot 5^5$$

したがって，1の目が6回中1回出る確率は

$$P_{r}(X_{1}) = \frac{6 \cdot 5^5}{6^6} = \left(\frac{5}{6}\right)^5$$

別解

まず，1の目が1回出るのは最初の1投目でも2投目でも6投目でもいいので全部で6通りあることに注意します．この6通りのそれぞれの確率を調べてみましょう．まず，1投目で1の目が出たとすると

$$\{1 \square \square \square \square \square \}$$

となります．このとき，$\square$の中には1の目以外なんでも入ります．よってこのときの確率を求めると，

$$\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5$$

となります．これが全部で6通りあるので，1の目が1回出る確率は

$$6 \cdot \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \frac{3125}{7776}$$

となります．

(b) 1の目が4回出る組み合わせは全部で ${}_6 C_{4}$通り．そのとき，残りの2回は1以外なので$5^2$通り．よって全部で，

$${}_6 C_{4} \cdot 5^2$$   通り

したがって，1の目が6回中4回出る確率は

$$P_{r}(X_{4}) = \frac{{}_6 C_{4} \cdot 5^2}{6^6} = \frac{375}{46656}$$

別解

6回中4回1の目がでる組み合わせは ${}_6 C_{4}$通り．また，それぞれの確率は

$$\left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$$

よって，

$$P_{r}(X_{4}) = {}_6 C_{4} \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{375}{46656} = \frac{125}{15552}$$

(c) 1の目が出るのは4回以下とは

$$X_{0} \cup X_{1} \cup X_{2} \cup X_{3} \cup X_{4}$$

のことです．ここで，それぞれの事象は同時に起こりえないことに注意すると，

$$P_{r}(X_{0} \cup X_{1} \cup X_{2} \cup X_{3} \cup X_{4}) = P_{r}(X_{0}) + P_{r}(X_{1}) + P_{r}(X_{2}) + P_{r}(X_{3}) + P_{r}(X_{4})$$

$$= 1 - [Pr(X_{5}) + Pr(X_{6})$$

$$= 1 - \left[\binom{6}{5} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \left(\fr... ...) + \binom{6}{6} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^6 \right] = \frac{46625}{46656}$$

(d) 1の目が出るのは5回以上とは

$$X_{5} \cup X_{6}$$

のことです．ここで，1の目が出るのが4回以下の確率は

$$P_{r}\left(X_{0} \cup X_{1} \cup X_{2} \cup X_{3} \cup X_{4}\right) = \frac{46625}{46656}$$

に注意すると，

$$P_{r}(X_{5} \cup X_{6}) = 1 - P_{r}\left(X_{0} \cup X_{1} \cup X_{2} \cup X_{3} \cup X_{4}\right) = \frac{31}{46656}$$

2. (a) 白玉5個，赤玉3個，黒玉が2個合わせて10個の中から4個を取り出す組み合わせは ${}_10 C_{4}$通り．次に白玉4個を袋の中から取り出す組み合わせを考えてみましょう．

袋の中の5個の白玉から4個を取り出すしかないので，その組み合わせは ${}_5 C_{4}$通り．したがって，取り出した4個が全て白玉の確率は

$$\frac{{}_5 C_{4}}{{}_10 C_{4}} = \frac{\frac{5!}{4! 1!}}{\frac{10... ... 4!}} = \frac{5 \cdot \cdot 3 cdot 2}{10 cdot 9 cdot 8 cdot 74} = \frac{1}{42}$$

別解 取り出した4個に注目．

1． 白玉4個取り出す組み合わせは ${}_5 C_{4} = 5$通り

2． 白玉1個ずつ取り出す確率は， $\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} \cdot \frac{1}{7}$

したがって，取り出した4個が全て白玉の確率は

$$5 \cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{42}$$

(b) 白玉5個，赤玉3個，黒玉が2個合わせて10個の中から4個を取り出す組み合わせは ${}_10 C_{4}$通り．次に白玉2個を袋の中から取り出す組み合わせを考えてみましょう．

2個だけ白玉ということは5個の白玉から2個取り出し，残りの赤玉と黒玉から2個取り出す場合の数なので， ${}_5 C_{2} \times {}_5 C_{2}$．したがって，取り出した4個のうち白がちょうど2個である確率は

$$\frac{{}_5 C_{2} \times {}_5 C_{2}}{{}_10 C_{4}} = \frac{10}{21}$$

(c) 白が2個以内とは白が0個，1個，2個の事象の場合である．よって，その確率は

$$\frac{{}_5 C_{0} \cdot {}_5 C_{4} + {}_5 C_{1} \cdot {}_5 C_{3} + {}_5 C_{2} \times {}_5 C_{2}}{{}_10 C_{4}} = \frac{31}{42}$$

(d) 白が2個赤が2個を取り出す組み合わせは， ${}_5 C_{2} \times {}_3 C_{2}$である．したがって，取り出した4個のうち白が2個赤が2個である確率は

$$\frac{{}_5 C_{2} \cdot {}_3 C_{2}}{{}_10 C_{4}} = \frac{1}{7}$$

(e) 取り出した4個に注目．

1． 白，赤，黒がともに含まれるということは，白，赤，黒のどれかが2個になる組み合わせを考えればよい．よって ${4 \choose 2,1,1}$通り．

2． 白，赤，黒1つずつ取り出す確率は $\frac{5}{10}\frac{3}{9}\frac{2}{8}$．

3．したがって，白，赤，黒がともに含まれる確率は

$${4 \choose 2,1,1}\frac{5}{10}\frac{3}{9}\frac{2}{8} = \frac{1}{2}$$

3.

(a) 1から10までがその順に一列に並ぶ場合を考えているので，まずは，1から10を勝手に一列に並べる並べ方は何通りあるか考えてみましょう．

先頭にくるのは1から10の内どれでもよいので，10通り，次は9通り，．．．となるので，全部で ${}_10 P_{10} = 10!$通りとなります．

次に1から10までがその順に一列に並ぶ場合は一通り．したがって，その確率は

$$\frac{1}{10!}$$

別解 1が先頭にくる確率は $${\frac{1}{10}}$$,1が先頭にきたことが分ったあと，2が2番目にくる確率は $${\frac{1}{9}}$$，1が先頭，2が2番目にきたことが分ったあと，3が3番目にくる確率は $${\frac{1}{8}}$$，．．．となるので，1から10までがその順に一列に並ぶ確率は

$$\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{9} \cdots \frac{1}{1} = \frac{1}{10!}$$

(b) 4のカードがちょうど4番目ということは，それ以外の9枚のカードはどこにあってもいいので，4のカードがちょうど4番目にくるのは ${}_9 P_{9} = 9!$通りあります．よってその確率は

$$\frac{{}_9 P_{9}}{{}_10 P_{10}} = \frac{9!}{10!} = \frac{1}{10}$$

別解 4のカードがちょうど4番目にくる確率は $${\frac{1}{10}}$$

(c) 1が最初に，4が4番目にあるということは，それ以外の8枚のカードはどこにあってもいいので，全部で ${}_8 P_{8}$通り．よって，1が最初に，4が4番目にくる確率は

$$\frac{{}_8 P_{8}}{{}_10 P_{10}} = \frac{8!}{10!} = \frac{1}{10\cdot 9} = \frac{1}{90}$$

別解 1が最初にくる確率は $${\frac{1}{10}}$$．次に1が最初にきたことが分ったあと，4が4番目にくる確率は $${\frac{1}{9}}$$．よって，1が最初に，4が4番目にくる確率は

$$\frac{1}{90}$$

4. (a) 円板の半径は1.5cmよりちょうど正方形の中に入るには，円板の中心が1辺5cmの正方形の中にあればよい．したがって，その確率は

$$\frac{1辺5cmの正方形の面積}{1辺8cmの正方形の面積} = \frac{25}{64}$$

(b) A = 「円板が正方形の辺にかかる」の余事象は$\bar{A}$ = 「円板が正方形の中にある」となる．したがって，その確率は

$$1 - \frac{1辺5cmの正方形の面積}{1辺8cmの正方形の面積} = \frac{39}{64}$$

(c) 円板が4つの正方形にまたがるには，その中心が4つの正方形の境界から1.5cm以内になければならない．また，その面積は $\pi (1.5)^2$．したがって，円板が4つの正方形にまたがる確率は

$$\frac{\pi (1.5)^2}{64}$$

5.

(a) 白玉4個，赤玉6個，合わせて10個の中から2個を取り出す組み合わせは ${}_10 C_{2}$通り．白玉2個を袋の中から取り出す組み合わせを考えてみましょう．

袋の中の4個の白玉から2個を取り出すしかないので，その組み合わせは ${}_4 C_{2}$通り．したがって，取り出した2個が両方白玉の確率は

$$\frac{{}_4 C_{2}}{{}_10 C_{2}} = \frac{\frac{4!}{2! 2!}}{\frac{10!}{8! 2!}} = \frac{4 \cdot 3}{10 \cdot 9} = \frac{2}{15}$$

(b) 1個だけ白玉ということは4個の白玉から1個取り出し，6個の赤玉から1個取り出す場合の数なので， ${}_4 C_{1} \times {}_6 C_{1}$．よってその確率は

$$\frac{{}_4 C_{1} \times {}_6 C_{1}}{{}_10 C_{2}} = \frac{4 \times 6}{45} = \frac{8}{15}$$

(c) 少なくとも1個は白玉という事象は，2個とも白玉であるか，または1個だけ白玉であるかのどちらかです．ここで，これらの事象は排反事象(同時に起きない)であることに注意すると，全部で， ${}_4 C_{2} + {}_4 C_{1} \times {}_6 C_{1}$通り．したがって，求める確率は

$$\frac{{}_4 C_{2} + {}_4 C_{1} \times {}_6 C_{1}}{{}_10 C_{2}} = \frac{2}{15} + \frac{8}{15} = \frac{2}{3}$$