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多次元確率分布

数理統計演習問題 7

1. 1枚の銅貨を投げて表が出れば1，裏が出れば0と表わすことにする．3枚の銅貨を投げるとき，それぞれの銅貨の表がでることの確率変数を$ X,Y,Z$として，次の問に答えよ．

(a)
その和$ X+Y+Z$の確率分布と分布関数を求めよ．
(b)
表の出る枚数$ X+Y+Z$の平均値と分散を求めよ．

2. 確率変数$ X$の確率密度が次の式

$\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 2x & 0 \leq x < 1 \\ 0 & \mbox{その他} \end{array} \right. $

で与えられるとき，次の確率変数$ Y,Z$の確率密度，平均値，分散を求めよ．
(a)
$ Y = 2X + 3$
(b)
$ Z = X^2$

3. 2つのさいころを投げて出た目を確率変数$ X,Y$とする．

(a)
積$ XY$の期待値を求めよ．
(b)
積$ XY$の分散を求めよ．

問題解答

1.

a $ W = X + Y + Z$とおくと$ W$の変域は $ \{0,1,2,3\}$である．確率分布$ h(i)$は$ P(W = i)$で与えれれる． まず，$ h(0)$を考えてみよう． $ h(0) = P(W = 0)$より，3枚銅貨を投げて全て裏が出る確率を求めることと同じである．場合の数を求めると，全部裏の組み合わせは8通り中の1通り．したがって $ P(W = 0) = \frac{1}{8}$．同様に，$ W = 1,2,3$について求めると

\begin{displaymath}\begin{array}{l} h(0) = P(W = 0) = {3 \choose 0}(\frac{1}{2})... ...) = {3 \choose 3}(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}\\ \end{array}\end{displaymath}

となる．次に分布関数$ H(i)$を求める． $ H(i) = P(W \leq i)$のことなので，

\begin{displaymath}\begin{array}{l} H(0) = P(W \leq 0) = \frac{1}{8}\\ H(1) = P... ...8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = 1\\ \end{array}\end{displaymath}

b $ W$の平均値は$ E(W)$は

$\displaystyle E(W) = E(x + Y +Z) = E(X) + E(Y) + E(Z) $

で与えられることに注意すればすぐに求まる．

$\displaystyle E(X) = 0\cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle E(Y) = 0\cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle E(Z) = 0\cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

より

$\displaystyle E(W) = \frac{3}{2}$

別解 $ W$の確率分布が分かっているので，直接求めることも可能である．

$\displaystyle E(W) = 0\cdot\frac{1}{8} + 1\cdot \frac{3}{8} + 2\cdot \frac{3}{8} + 3\cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{2} $

次に$ W$の分散$ V(W)$を求める．一般に $ V(W) = E(W^2) - (E(W))^2$を用いて求める方が簡単であるが，この問題では$ W$の確率分布が分かっているので直接求める方が簡単である． $ E(X) = \frac{3}{2}$より

$\displaystyle V(W) = \{(0 - \frac{3}{2})^2 \frac{1}{8} + (1 - \frac{3}{2})^2 \f... ...(2 - \frac{3}{2})^2 \frac{3}{8} + (3 - \frac{3}{2})^2 \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$

2.

a $ Y$の確率密度関数$ g(x)$を求めるには$ Y$の分布関数$ G(y)$について調べ， $ g(y) = G'(y)$の関係を用いる．

$ X$の分布関数$ F(x)$は $ F(x) = P(X \leq x)$，$ Y$の分布関数$ G(y)$は $ G(y) = P(Y \leq y)$で与えられるので，

$\displaystyle G(y) = P(Y \leq y) = P(2X+3 \leq y) = P(X \leq \frac{y - 3}{2}) = F(\frac{y-3}{2})$

を得る． 次に，$ X$の確率密度関数は $ f(x) = 2x (0 \leq x < 1)$で与えられていることに注意すると，$ Y$の確率密度関数$ g(y)$は，

$\displaystyle g(y) = G'(y) = F'(\frac{y-3}{2})\frac{1}{2} = \frac{1}{2}f(\frac{y-3}{2}) = \frac{y-3}{2}$

となる．

$ Y$の期待値 $ E(Y) = E(2X + 3) = 2E(X) + E(3) = 2E(X) + 3$より$ E(Y)$を求めるには，$ E(X)$を求めればよいことが分かる． $ \displaystyle{E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x) dx }$で与えられるので，

$\displaystyle E(X) = \int_{0}^{1}x(2x) dx = \int_{0}^{1}2x^2 dx = \frac{2}{3}x^3\mid_{0}^{1} = \frac{2}{3} $

したがって， $ E(Y) = E(2X + 3) = 2E(X) + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3}$

注 : $ Y$の確率密度関数を求めたので，直接$ E(Y)$を $ E(Y) = \int_{0}^{1}\frac{y-3}{2}dy$で求めることもできる．

最後に$ Y$の分散を求める．ここで $ V(2X+3) = V(2X),V(2X) = 2^{2}V(X),V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 $に注意すると $ V(Y)$を求めるには$ E(X^2)$を求めればよいことが分かる．

$\displaystyle E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)dx = \int_{0}^{1}2x^3 dx = \frac{1}{2}x^4 \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2} $

より

$\displaystyle V(Y) = V(2X+3) = 4V(X) = 4[E(X^2) - (E(X))^2] = 4[\frac{1}{2} - (\frac{2}{3})^2] = \frac{2}{9}$

b $ Z$の確率密度関数$ h(z)$を求めるには$ Z$の分布関数$ H(z)$について調べ， $ h(z) = H'(z)$の関係を用いる．

$ X$の分布関数$ F(x)$は $ F(x) = P(X \leq x)$，$ Z$の分布関数$ H(z)$は $ H(z) = P(Z \leq z)$で与えられるので，

$\displaystyle H(z) = P(Z \leq z) = P(X^2 \leq z) = P(\vert X\vert \leq \sqrt{z}) = P(X \leq \sqrt{z}) - P(X \leq -\sqrt{z}) = F(\sqrt{z}) - F(-\sqrt{z})$

を得る． これより$ Z$の確率密度関数$ h(z)$は，

$\displaystyle h(z) = H'(z) = F'(\sqrt{z})(\sqrt{z})' - F'(-\sqrt{z})(-\sqrt{z})' = \frac{1}{2\sqrt{z}}(f(\sqrt{z}) + f(-\sqrt{z}))$

となる．ここで

$\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x & (0 \leq x < 1)\\ 0 & (その他) \end{array}\right.$

より $ f(\sqrt{z}) = 2\sqrt{z},f(-\sqrt{z}) = 0 $．したがって， $ h(z) = \frac{1}{2\sqrt{z}}2\sqrt{z} = 1$．

次に期待値を求める．

$ \displaystyle{E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x) dx }$で与えられるので，

$\displaystyle E(Z) = E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)dx = \int_{0}^{1}2x^3 dx = \frac{1}{2}x^4 \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2} $

最後に$ Z$の分散を求める．

$\displaystyle V(Z) = V(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)dx = \int_{0}^{1}2x^3 dx = \frac{1}{2}x^4 \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2} $

より

$\displaystyle V(Y) = V(2X+3) = 4V(X) = 4[E(X^2) - (E(X))^2] = 4[\frac{1}{2} - (\frac{2}{3})^2] = \frac{2}{9}$

3.

a $ W = XY$とおくと，$X，Y$は独立である．したがって，その期待値は

$\displaystyle E(W) = E(XY) = E(X)E(Y)$

で求まる．$ X$は1つのさいころを投げたとき出る目の値であるから，その期待値$ E(X)$は

$\displaystyle E(X) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\frac{1}{6} ... ...frac{1}{6} + 5\cdot\frac{1}{6} + 6\cdot\frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

同様に， $ E(Y) = \frac{7}{2}$となるので，求める期待値$ E(W)$は $ E(W) = (\frac{7}{2})^2$となる．

b $ W = XY$とおくと，その分散は

$\displaystyle V(W) = E(W^2) - (E(W))^2 = E((XY)^2) - (\frac{7}{2})^4$

となるので，$ E((XY)^2)$を求めればよい．ここで$ X,Y$は独立であることに注意すると

$\displaystyle E((XY)^2) = E(X^2 Y^2) = E(X^2)E(Y^2)$

さらに

$\displaystyle E(X^2) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2^{2}\frac{1}{6} + 3^{2}\frac{1}{6} + 4^{2}\frac{1}{6} + 5^{2}\frac{1}{6} + 6^{2}\frac{1}{6}$

ここで

$\displaystyle 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdot + n^2 = \frac{1}{6}(n(n+1)(2n+1) $

を用いると

$\displaystyle E(X^2) = \frac{1}{6}\frac{1}{6}(6(7)(13)) = \frac{91}{6} $

同様に $ E(Y^2) = \frac{91}{6}$となるので，求める$ V(W)$は

$\displaystyle V(W) = E((XY)^2) - (\frac{7}{2})^4 = (\frac{91}{6})^2 - (\frac{7}{2})^4 = \frac{11515}{144} $

となる．

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