多次元確率分布

数理統計演習問題 7

1. 1枚の銅貨を投げて表が出れば1，裏が出れば0と表わすことにする．3枚の銅貨を投げるとき，それぞれの銅貨の表がでることの確率変数を$X,Y,Z$として，次の問に答えよ．

(a)

その和$X+Y+Z$の確率分布と分布関数を求めよ．

(b)

表の出る枚数$X+Y+Z$の平均値と分散を求めよ．

2. 確率変数$X$の確率密度が次の式

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 2x & 0 \leq x < 1 \\ 0 & \mbox{その他} \end{array} \right.$$

で与えられるとき，次の確率変数$Y,Z$の確率密度，平均値，分散を求めよ．

(a)

$Y = 2X + 3$

(b)

$Z = X^2$

3. 2つのさいころを投げて出た目を確率変数$X,Y$とする．

(a)

積$XY$の期待値を求めよ．

(b)

積$XY$の分散を求めよ．

問題解答

1.

a $W = X + Y + Z$とおくと$W$の変域は $\{0,1,2,3\}$である．確率分布$h(i)$は$P(W = i)$で与えれれる． まず，$h(0)$を考えてみよう． $h(0) = P(W = 0)$より，3枚銅貨を投げて全て裏が出る確率を求めることと同じである．場合の数を求めると，全部裏の組み合わせは8通り中の1通り．したがって $P(W = 0) = \frac{1}{8}$．同様に，$W = 1,2,3$について求めると

$$\begin{array}{l} h(0) = P(W = 0) = {3 \choose 0}(\frac{1}{2})... ...) = {3 \choose 3}(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}\\ \end{array}$$

となる．次に分布関数$H(i)$を求める． $H(i) = P(W \leq i)$のことなので，

$$\begin{array}{l} H(0) = P(W \leq 0) = \frac{1}{8}\\ H(1) = P... ...8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = 1\\ \end{array}$$

b $W$の平均値は$E(W)$は

$$E(W) = E(x + Y +Z) = E(X) + E(Y) + E(Z)$$

で与えられることに注意すればすぐに求まる．

$$E(X) = 0\cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

$$E(Y) = 0\cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

$$E(Z) = 0\cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

より

$$E(W) = \frac{3}{2}$$

別解 $W$の確率分布が分かっているので，直接求めることも可能である．

$$E(W) = 0\cdot\frac{1}{8} + 1\cdot \frac{3}{8} + 2\cdot \frac{3}{8} + 3\cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{2}$$

次に$W$の分散$V(W)$を求める．一般に $V(W) = E(W^2) - (E(W))^2$を用いて求める方が簡単であるが，この問題では$W$の確率分布が分かっているので直接求める方が簡単である． $E(X) = \frac{3}{2}$より

$$V(W) = \{(0 - \frac{3}{2})^2 \frac{1}{8} + (1 - \frac{3}{2})^2 \f... ...(2 - \frac{3}{2})^2 \frac{3}{8} + (3 - \frac{3}{2})^2 \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$$

2.

a $Y$の確率密度関数$g(x)$を求めるには$Y$の分布関数$G(y)$について調べ， $g(y) = G'(y)$の関係を用いる．

$X$の分布関数$F(x)$は $F(x) = P(X \leq x)$，$Y$の分布関数$G(y)$は $G(y) = P(Y \leq y)$で与えられるので，

$$G(y) = P(Y \leq y) = P(2X+3 \leq y) = P(X \leq \frac{y - 3}{2}) = F(\frac{y-3}{2})$$

を得る． 次に，$X$の確率密度関数は $f(x) = 2x (0 \leq x < 1)$で与えられていることに注意すると，$Y$の確率密度関数$g(y)$は，

$$g(y) = G'(y) = F'(\frac{y-3}{2})\frac{1}{2} = \frac{1}{2}f(\frac{y-3}{2}) = \frac{y-3}{2}$$

となる．

$Y$の期待値 $E(Y) = E(2X + 3) = 2E(X) + E(3) = 2E(X) + 3$より$E(Y)$を求めるには，$E(X)$を求めればよいことが分かる． $${E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x) dx }$$で与えられるので，

$$E(X) = \int_{0}^{1}x(2x) dx = \int_{0}^{1}2x^2 dx = \frac{2}{3}x^3\mid_{0}^{1} = \frac{2}{3}$$

したがって， $E(Y) = E(2X + 3) = 2E(X) + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3}$

注 : $Y$の確率密度関数を求めたので，直接$E(Y)$を $E(Y) = \int_{0}^{1}\frac{y-3}{2}dy$で求めることもできる．

最後に$Y$の分散を求める．ここで $V(2X+3) = V(2X),V(2X) = 2^{2}V(X),V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$に注意すると $V(Y)$を求めるには$E(X^2)$を求めればよいことが分かる．

$$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)dx = \int_{0}^{1}2x^3 dx = \frac{1}{2}x^4 \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2}$$

より

$$V(Y) = V(2X+3) = 4V(X) = 4[E(X^2) - (E(X))^2] = 4[\frac{1}{2} - (\frac{2}{3})^2] = \frac{2}{9}$$

b $Z$の確率密度関数$h(z)$を求めるには$Z$の分布関数$H(z)$について調べ， $h(z) = H'(z)$の関係を用いる．

$X$の分布関数$F(x)$は $F(x) = P(X \leq x)$，$Z$の分布関数$H(z)$は $H(z) = P(Z \leq z)$で与えられるので，

$$H(z) = P(Z \leq z) = P(X^2 \leq z) = P(\vert X\vert \leq \sqrt{z}) = P(X \leq \sqrt{z}) - P(X \leq -\sqrt{z}) = F(\sqrt{z}) - F(-\sqrt{z})$$

を得る． これより$Z$の確率密度関数$h(z)$は，

$$h(z) = H'(z) = F'(\sqrt{z})(\sqrt{z})' - F'(-\sqrt{z})(-\sqrt{z})' = \frac{1}{2\sqrt{z}}(f(\sqrt{z}) + f(-\sqrt{z}))$$

となる．ここで

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x & (0 \leq x < 1)\\ 0 & (その他) \end{array}\right.$$

より $f(\sqrt{z}) = 2\sqrt{z},f(-\sqrt{z}) = 0$．したがって， $h(z) = \frac{1}{2\sqrt{z}}2\sqrt{z} = 1$．

次に期待値を求める．

$${E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x) dx }$$で与えられるので，

$$E(Z) = E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)dx = \int_{0}^{1}2x^3 dx = \frac{1}{2}x^4 \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2}$$

最後に$Z$の分散を求める．

$$V(Z) = V(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)dx = \int_{0}^{1}2x^3 dx = \frac{1}{2}x^4 \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2}$$

より

$$V(Y) = V(2X+3) = 4V(X) = 4[E(X^2) - (E(X))^2] = 4[\frac{1}{2} - (\frac{2}{3})^2] = \frac{2}{9}$$

3.

a $W = XY$とおくと，$X，Y$は独立である．したがって，その期待値は

$$E(W) = E(XY) = E(X)E(Y)$$

で求まる．$X$は1つのさいころを投げたとき出る目の値であるから，その期待値$E(X)$は

$$E(X) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\frac{1}{6} ... ...frac{1}{6} + 5\cdot\frac{1}{6} + 6\cdot\frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$$

同様に， $E(Y) = \frac{7}{2}$となるので，求める期待値$E(W)$は $E(W) = (\frac{7}{2})^2$となる．

b $W = XY$とおくと，その分散は

$$V(W) = E(W^2) - (E(W))^2 = E((XY)^2) - (\frac{7}{2})^4$$

となるので，$E((XY)^2)$を求めればよい．ここで$X,Y$は独立であることに注意すると

$$E((XY)^2) = E(X^2 Y^2) = E(X^2)E(Y^2)$$

さらに

$$E(X^2) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2^{2}\frac{1}{6} + 3^{2}\frac{1}{6} + 4^{2}\frac{1}{6} + 5^{2}\frac{1}{6} + 6^{2}\frac{1}{6}$$

ここで

$$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdot + n^2 = \frac{1}{6}(n(n+1)(2n+1)$$

を用いると

$$E(X^2) = \frac{1}{6}\frac{1}{6}(6(7)(13)) = \frac{91}{6}$$

同様に $E(Y^2) = \frac{91}{6}$となるので，求める$V(W)$は

$$V(W) = E((XY)^2) - (\frac{7}{2})^4 = (\frac{91}{6})^2 - (\frac{7}{2})^4 = \frac{11515}{144}$$

となる．