行列式

演習問題2-8

1. 次の行列式の値を求めよ．

(a) $\left \vert \begin{array}{rrr} 2&-3&1\\ 1&0&2\\ 1&-1&1 \end{array}\right\vert$ (b) $\left \vert \begin{array}{rrrr} 2&4&0&5\\ 1&-2&-1&3\\ 1&2&3&0\\ 3&3&-4&-4 \end{array}\right\vert$ (c) $\left \vert \begin{array}{ccccc} 0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 1&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0 \end{array}\right\vert$

2. 次の行列式を因数分解せよ．

(a) $\left\vert\begin{array}{rrr} 1&a^2&(b+c)^2\\ 1&b^2&(c+a)^2\\ 1&c^2&(a+b)^2 \end{array}\right\vert$ (b) $\left\vert\begin{array}{rrr} b+c&b&c\\ a&c+a&c\\ a&b&a+b \end{array}\right\vert$

3. 次の方程式を解け． $\left\vert\begin{array}{rrr} 1-x&2&2\\ 2&2-x&1\\ 2&1&2-x \end{array}\right\vert = 0$

4. 平面上の2点 $(a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})$ を通る直線の方程式は

$$\left\vert\begin{array}{rrr} x&y&1\\ a_{1}&a_{2}&1\\ b_{1}&b_{2}&1 \end{array}\right\vert = 0$$

で与えられることを示せ．

5. 空間上の3点 $(a_{1},a_{2},a_{3}),(b_{1},b_{2},b_{3}),(c_{1},c_{2},c_{3})$ を通る平面の方程式は

$$\left\vert\begin{array}{cccc} x&y&z&1\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}&1\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}&1\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}&1 \end{array}\right\vert = 0$$

で与えられることを示せ．

6. 連立1次方程式 $A{\mathbf x} = {\bf0}$ が ${\mathbf x} \neq {\bf0}$ となる基本解をもてば, $\vert A\vert = 0$ であることを示せ．

7. 次の連立1次方程式をクラメールの公式をもちいて解け．

(a) $\left\{\begin{array}{rrr} x-3y&=&5\\ 3x-5y&=&7 \end{array}\right .$

(b) $\left\{\begin{array}{rrr} x+y+z&=&3\\ x+2y+2z&=&5\\ x+2y+3z&=&6 \end{array}\right .$