ベキ零行列の標準形

$\spadesuit$ 広義固有空間 $\spadesuit$

を次正方行列とし, を ${\mathcal C}^{n}$ の部分空間とします．に属する任意のベクトル ${\mathbf x}$ に対して $A{\mathbf x} \in W$ となるとき, 部分空間はA - 不変(A - invariant)であるといいます．

行列の固有多項式を固有値の重複度でまとめて

$\displaystyle \Phi_{A}(t) = (t - \lambda_{1})^{n_{1}}(t - \lambda_{2})^{n_{2}} \cdots (t - \lambda_{r})^{n_{r}}$

(5.1)

$\displaystyle \lambda_{i} \neq \lambda_{j} (i \neq j), n = n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{r}$

と表します．ここで, 固有値 $\lambda_{i}(1 \leq i \leq r)$ に対して

$\displaystyle W(\lambda_{i}) = \{{\mathbf x} \in {\mathcal C}^{n} : (A - \lambda_{i}I )^{j} {\mathbf x} = {\bf0}\}$

とおくと包含関係

$\displaystyle V(\lambda_{i}) = W_{1}(\lambda_{i}) \subset W_{2}(\lambda_{i}) \subset W_{3}(\lambda_{i}) \subset \cdots$

が成り立つ．次元を考えれば, これは無限には続かず

$\displaystyle W_{1}(\lambda_{i}) \subset W_{2}(\lambda_{i}) \subset \cdots \subset W_{l}(\lambda_{i}) = W_{l+1}(\lambda_{i}) = \cdots$

となります．このとき $W(\lambda_{i}) = W_{l}(\lambda_{i})$ です．

定理 5.1

を

次の正方行列, その固有多項式を(5.1)とする．このとき広義固有空間 $W(\lambda_{i}) (1 \leq i \leq r)$ に対して, 次が成り立つ

(1) $W(\lambda_{i}) \bigcap W(\lambda_{j}) = {{\bf0}} (i \neq j)$

(2) 相異なる固有値に対する広義固有ベクトルは1次独立

(3) $\dim W(\lambda_{i}) = n_{i}$

証明 (1) $i \neq j$ のとき, $W(\lambda_{i}) \bigcap W(\lambda_{j}) \ni {\mathbf x} \neq {\bf0}$ となるベクトル ${\mathbf x}$ が存在したとする．このとき

$\displaystyle (A - \lambda_{i}I)^{k_{1}} {\mathbf x} \neq {\bf0}$ かつ $\displaystyle (A - \lambda_{i})^{k_{1}+1} {\mathbf x} = {\bf0}$

を満たす0以上の整数 $k_{1}$ がある． ${\mathbf y} = (A - \lambda_{i}I)^{k_{1}}{\mathbf x}$ とおくと

$\displaystyle (A - \lambda_{i}I) {\mathbf y} = {\bf0}, W(\lambda_{i}) \bigcap W(\lambda_{j}) \ni {\mathbf y} \neq {\bf0}$

となる． ${\mathbf y} \in W(\lambda_{j})$ より, $(A - \lambda_{j}I)^{k_{2}} {\mathbf y} = {\bf0}$ となる整数 $k_{2}$ がある．しかし, $A{\mathbf y} = \lambda_{i}{\mathbf y}$ より $(A - \lambda_{j}I)^{k_{2}}{\mathbf y} = (\lambda_{j}I - \lambda_{i}I)^{k_{2}}{\mathbf y} = {\bf0}$ となるが, $i \neq j$ のとき $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}$ としたので, これは矛盾である．

(2) $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{s}$ をの相異なる固有値とする． $W(\lambda_{i}) \ni {\mathbf x}_{i} \neq {\bf0}$ $(1 \leq i \leq s)$ に対して

$\displaystyle c_{1}{\mathbf x}_{1} + c_{2}{\mathbf x}_{2} + \cdots + c_{s}{\mathbf x}_{s} = {\bf0}$ ならば $\displaystyle c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{s} = 0$

が成り立つことを帰納法を用いて示す．

の場合は明らかなので

$\displaystyle c_{1}{\mathbf x}_{1} + c_{2}{\mathbf x}_{2} + \cdots + c_{s-1}{\mathbf x}_{s-1} = {\bf0}$ のとき $\displaystyle c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{s-1} = 0$

が成り立つと仮定する．条件より

$\displaystyle c_{1}{\mathbf x}_{1} + c_{2}{\mathbf x}_{2} + \cdots + c_{s}{\mathbf x}_{s} = {\bf0} **$

が成り立つので, $(A - \lambda_{s}I)^{k} {\mathbf x}_{s} = {\bf0}$ となる整数

をとり, 上の式(**)の両辺に左からかけると

$\displaystyle c_{1}(A - \lambda_{s}I)^{k}$		$\displaystyle {\mathbf x}_{1} + \cdots + c_{s-1}(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{s-1} + c_{s}(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{s}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle c_{1}(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{1} + \cdots + c_{s-1}(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{s-1} = {\bf0}$

$W(\lambda_{i})$ は $(A - \lambda_{s}I)$ - 不変より, $(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{i} \in W(\lambda_{i})$ となる．また, (1)より $i \neq s$ のとき ${\mathbf x}_{i} \not\in W(\lambda_{s})$ ．したがって, $(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{i} \neq {\bf0}$ $(1 \leq i \leq s-1)$ となる．これより帰納法の仮定が使えて, $c_{i} = 0 (1 \leq i \leq s-1)$ を得る．よって, $c_{s}{\mathbf x}_{s} = {\bf0}$ となり, $c_{s} = 0$ を得る．

(3) (2)で示した1次独立性より

$\displaystyle \dim W(\lambda_{1}) + \cdots + \dim W(\lambda_{r}) \leq n$

が成り立つ．また, $n = n_{1} + n_{2} + \cdots + n_{r}$ なので, (3)を示すには $n_{i} \leq \dim W(\lambda_{i})$ $(1 \leq i \leq r)$ をいえばよい．

行列は, 定理4.3より, ユニタリ行列を用いて次の形に三角化できる．

$\displaystyle U^{-1}AU = \left(\begin{array}{rrrrrrrrrr} \lambda_{1}&&&&&&&&&\\... ...&&&\lambda_{r}&&\\ &&&&&&&&\ddots&\\ &&&&&&&&&\lambda_{r} \end{array}\right)$

いま,

$\displaystyle V_{i} = \left\{{\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2... ...ray}\right) \in {\mathcal C}^{n} : x_{i} = 0 (n_{1}+1 \leq i \leq n) \right\}$

とおくと, $V_{1}$ は ${\mathcal C}^{n}$ の $n_{1}$ 次元部分空間になる．また, $B = U^{-1}AU$ の形より $V_{1}$ の任意のベクトル ${\mathbf x}$ に対して

$\displaystyle (B - \lambda_{1}I)^{n_{1}}{\mathbf x} = U^{-1}(A - \lambda_{1}I)^{n_{1}}U{\mathbf x} = {\bf0}$

が成り立つ．ここで,

は正則なので

$\displaystyle (A - \lambda_{1}I)^{n_{1}} U{\mathbf x} - {\bf0}$

となる．したがって, $V_{2} = \{U{\mathbf x} : x \in V_{1}\}$ とおくと, $V_{2}$ は $W(\lambda_{1})$ に含まれる $n_{1}$ 次元の部分空間になり, 不等式 $n_{1} \leq \dim W(\lambda_{1})$ を得る．固有値の順番を入れ替えて考えれば, $n_{i} \leq \dim W(\lambda_{i})$ $(1 \leq i \leq r)$ が成り立つ． $\blacksquare$

定理 5.2

を

次の正方行列, その固有多項式を(*)とする．このとき

は適当な正則行列

により

$\displaystyle P^{-1}AP = \left(\begin{array}{cccc} A_{1} &&&\\ &A_{2}&&\\ &&&\ddots\\ &&&A_{r} \end{array}\right)$

の形に表される．ここで $A_{i}(1 \leq i \leq r)$ は $n_{i}$ 次正方行列であり, その固有多項式は $\Phi_{A}(t) = (t - \lambda_{i})^{n_{i}}$ である．

証明 $W(\lambda_{i})$ から基底 ${\bf p}_{1}^{i}, \ldots,{\bf p}_{n_{i}}^{i}$ をとる． $W(\lambda_{i})$ は - 不変なので,

$\displaystyle A{\bf p}_{j}^{i} = a_{1j}^{i}{\vert bf p}_{1}^{i} + \cdots + a_{n_{i}j}^{i}{\bf p}_{n_{i}}^{i} (1 \leq j \leq n_{i})$

と表せる．ここで $A_{i} = (a_{jk}^{i})$ とおくと, $A_{i}$ は $n_{i}$ 次正方行列である．定理5.1より

$\displaystyle \{{\bf p}_{1}^{1},\ldots,{\bf p}_{n_{1}}^{1},{\bf p}_{1}^{2},\ldots,{\bf p}_{n_{2}}^{2},\ldots,{\bf p}_{1}^{r},\ldots,{\bf p}_{n_{r}}^{r}\}$

は ${\mathcal C}^{n}$ の基底となる．したがって,

$\displaystyle P = ({\bf p}_{1}^{1} \cdots {\bf p}_{n_{1}}^{1} {\bf p}_{1}^{2} \cdots {\bf p}_{n_{2}}^{2} \cdots {\bf p}_{1}^{r} \cdots {\bf p}_{n_{r}}^{r})$

とおくと,

は正則行列となり

$\displaystyle AP = P\left(\begin{array}{cccc} A_{1} &&&\\ &A_{2}&0&\\ &&&\ddots\\ &&0&A_{r} \end{array}\right)$

を満たす．この式の両辺に $P^{-1}$ を左からかければ求める式を得る．

この関係式を用いると

$\displaystyle \Phi_{A}(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \Phi_{P^{-1}AP}(t) = (t - \lambda_{1})^{n_{1}}(t - \lambda_{2})^{n_{2}}\cdots(t - \lambda_{r})^{n_{r}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \Phi_{A_{1}}(t)\Phi_{A_{2}}(t) \cdots \Phi_{A_{r}}(t)$

となる．したがって, $A_{i}$ の固有値が $\lambda_{i}$ だけであることを示せば

$\displaystyle \Phi_{A_{i}}(t) = (t - \lambda_{i})^{n_{i}}$

が示される． $A_{i}$ が $\lambda_{i}(j \neq i)$ を固有値として持ち, $\lambda_{i}$ に対する固有ベクトル

$\displaystyle {\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ ... ...array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}\right)$

が取れたとする．すなわち, $A_{i}{\mathbf x} = \lambda_{j}{\mathbf x}$ とする．このとき

$\displaystyle {\mathbf {\bar{x}}} = \left(\begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0\\ ... ...} \\ \\ \\ \end{array}\right\} & n_{i+1} + \cdots + n_{r} \end{array}\right.$

とおくと, ${\mathbf {\bar x}} \neq {\bf0}$ で $P^{-1}AP{\mathbf {\bar x}} = \lambda_{j}{\mathbf {\bar x}}$ を満たす．したがって,

$\displaystyle {\bf0} \neq P{\mathbf {\bar x}} = x_{1}{\bf p}_{1}^{i} + \cdots + x_{n_{i}}{\bf p}_{n_{i}}^{i} \in W(\lambda_{i})$

は $AP{\mathbf {\bar x}} = \lambda_{j}P{\mathbf {\bar x}}$ , つまり, $(A - \lambda_{j}I)P{\mathbf {\bar x}} = {\bf0}$ を満たす．しかし, これは $P{\mathbf {\bar x}} \in W(\lambda_{j})$ を意味し, 定理5.1に矛盾する． $\blacksquare$

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yokotalab 平成20年3月7日