Simpson公式の基礎知識

シンプソン法は、図において、関数$f(x)$を $x_{0} \sim x_{2}$まで積分するのに,3点 $P_{0}, P_{1}, P_{2}$を通る2次関数で近似する方法で、台形公式による方法より精度の高い近似値が得られる。 下図のように、3点 $P_{0}, P_1, P_2$を通る2次関数と$x$軸の区間$[x_0,x_2]$ではさまれた網掛け部分の面積$S$は、

２次関数を $y = ax_{0}^{2} + bx_{0} + c$とおくと

$$y_{0} = ax_{0}^{2} + bx_{0} + c$$

$$y_{1} = ax_{1}^{2} + bx_{1} + c$$

$$y_{2} = ax_{2}^{2} + bx_{2} + c$$

より

$$S = \int_{x_0}^{x_1}(ax^{2} + bx + c)dx + \int_{x_1}^{x_2}(ax^{2} + bx + c)dx$$

$$= \left[\frac{ax^{3}}{3} + \frac{bx^{2}}{2} + cx\right]_{x_0}^{x_1} + \left[\frac{ax^{3}}{3} + \frac{bx^{2}}{2} + cx\right]_{x_1}^{x_2}$$

$$= \frac{(x_{1} - x_{0})}{3}\left(a(x_{1}^{2} + x_{1}x_{0} + x_{0}^{2}) + \frac{3b(x_{1} + x_{0})}{2} + 3c\right)$$

$$+ \frac{(x_{2} - x_{1})}{3}\left(a(x_{2}^{2} + x_{2}x_{1} + x_{1}^{2}) + \frac{3b(x_{2} + x_{1})}{2} + 3c\right)$$

$$= \frac{h}{3}\left(ax_{0}^{2} + bx_{0} + c + ax_{2}^{2} + bx_{2} + c \right.$$

$$+ \left. ax_{1}^{2} + ax_{1}x_{0} + \frac{bx_{1}}{2} + \frac{bx_{0}}{2} + 2c + ax_{2}x_{1}\right)$$

ここで， $x_{0} = x_{1} - h$， $x_{2} = x_{1} + h$に注意すると

$$S = \frac{h}{3}(y_{0} + 4y_{1} + y_{2})$$

と表される。これをSimpson公式という。

図のように関数$f(x)$が区間$[a,b]$で$n$（偶数)等分されていると，この区間の面積の近似値$S$は

$$S = S_{1} + S_{2} + \cdots + S_{n}$$

より

$$S = S_{1} + S_{2} + \cdots + S_{n}$$

$$= \frac{h}{3}\left[(y_{0} + 4y_{1} + y_{2}) + (y_{2} + 4y_{3} + y_{4}) + \cdots + (y_{n-2} + 4y_{n-1} + y_{n})\right]$$

$$= \frac{h}{3}\left[y_{0} + y_{n} + 2\sum_{i=1}^{(n/2)-1}y_{2i} + 4\sum_{i=1}^{n/2}y_{2i-1}\right]$$

が求まる。この式を合成Simpson公式という。