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台形公式の基礎知識

関数$ f(x)$を$ a$から$ b$まで積分するのに，区間$ [a,b]$を$ n$等分して，図のように点A,B間を直線で結び近似すると，図形 $ x_{0},A,B,x_{1}$は台形になる。ここで， $ h = (b-a)/n$とすると，この台形の面積$ s_{1}$は

$\displaystyle s_{1} = \frac{h}{2}(f(x_{0} + f(x_{1}))$

で与えられる。同様に $ s_{2},s_{3},\ldots,s_{n}$は
$\displaystyle s_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{h}{2}(f(x_{1}) + f(x_{2}))$  
$\displaystyle s_{3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{h}{2}(f(x_{2}) + f(x_{3}))$  
  $\displaystyle \vdots$    
$\displaystyle s_{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{h}{2}(f(x_{n-1}) + f(x_{n}))$  

で与えられる。ここで，区間$ [a,b]$の台形の面積を$ s$とすると，
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s_{1} + s_{2} + \cdots + s_{n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{h}{2}(f(x_{0} + f(x_{1})) + \frac{h}{2}(f(x_{1}) + f(x_{2})) + \cdots + \frac{h}{2}(f(x_{n-1}) + f(x_{n}))$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{h}{2}(f(x_{0} + 2(f(x_{1}) + f(x_{2}) + cdots + f(x_{n-1})) + f(x_{n})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{h}{2}[f(a) + 2(f(x_{1}) + f(x_{2}) + cdots + f(x_{n-1})) + f(b)]$  

となる。この式を用いて面積の近似を行う方法を台形公式を用いた数値積分という。