解
特性方程式
の根は
.よって
は解である.またこの2つの関数は例題2.1より一次独立.したがって一般解は
解
特性方程式
の根は
.よって
は解である.
この微分方程式は2階なので一般解を得るには一次独立な解がもうひとつ必要である.
演習問題2.2.2よりもうひとつの解
を求めると
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この例題を一般化すると次の定理を得ます.
証明
とおく.すると
解
定理2.7より
は
の一次独立な解である.よって一般解は
ここまでの例題の方程式の根はすべて実数でしたが,定理2.7は複素数の場合にも成り立ちます.ただ対応する解を複素指数関数を用いず,三角関数を用いて表わすことがよくあります.
の係数を実数とします.
が対応する特性方程式
の特性根ならばその共役
も特性根です.したがって
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解
特性方程式
の根は
.よって
ここまでをまとめると,同次定数係数線形微分方程式の解はいつも
次の例題はNewtonの第2法則(Newton's second law)とHookeの法則(Hooke's Law)を用いて,一端を固定したバネにつり下げられた物体の運動の状態を調べるものです.そこで復習.
物体の質量を,バネの弾力定数を
,ダッシュポットの摩擦による減衰力は物体の速度
に比例するとき,この物体に働いている力は
1. ![]() |
= ![]() |
2. ![]() |
= ![]() |
3. ![]() |
=
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4. ![]() |
= ![]() |
で与えられます.また垂直方向の力の差はNewtonの第2法則より,質量と加速度
の積で表わされます.よって運動方程式
解
運動方程式は質量,バネ定数
より