演習問題


1.
フーリエ変換を用いて,1次元熱伝導方程式を解け.
$\displaystyle u_{t}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2 u_{xx} \ \ \ (0 < x < \infty, \ t > 0)$  
$\displaystyle u(0,t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0, \ u(x,0) = \left\{\begin{array}{ll}
25x, & 0 < x < 4\\
0, x > 4
\end{array}\right .$  

2.
フーリエ変換を用いて,1次元波動方程式

$\displaystyle u_{tt} = c^2 u_{xx} \ \ \ (-\infty < x < \infty, \ t > 0) $

$\displaystyle u(x,0) = f(x), u_{t}(x,0) = 0 \ \ (-\infty < x < \infty) $

の解が $u(x,t) = \frac{1}{2}\{f(x+ct) + f(x - ct)\}$で与えられることを示せ.
3.enshu:8-2-3
フーリエ変換を用いて,次の境界値問題を解け.
$\displaystyle u_{tt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2 u_{xx} \ \ \ (0 < x < \infty, \ t > 0)$  
$\displaystyle u(x,0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_{t}(x,0) = 0$  
$\displaystyle u_{x}(0,t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(t)$  

4.
フーリエ変換を用いて,次の境界値問題を解け.

$\displaystyle \Delta_{2}u = u_{xx} + u_{yy} = 0 \ \ \ (-\infty < x <\infty, \ 0 < y < \infty) $

$\displaystyle u(x,0) = f(x) $

$\displaystyle x^2 + y^2 \longrightarrow \infty \ $   のとき$\displaystyle \ u(x,y) \longrightarrow 0. $