演習問題

1.

$f(x)$が $(0, \infty)$で区分的に滑らかで， $\int_{0}^{\infty}\vert f(x)\vert dx < \infty$ $($絶対積分可能$)$のとき，次のことが成り立つことを示せ．

(a)

$${ {\cal F}_{s}[f^{\prime}(x)] = - \omega {\cal F}_{c}[f(x)]}$$

(b)

$${ {\cal F}_{c}[f^{\prime}(x)] = - f(0+) + \omega {\cal F}_{s}[f(x)]}$$

2.

$${ f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \vert x\vert < a \\ 0 & \vert x\vert > a \end{array}\right . }$$のとき，下の問いに答えよ．

(a)

$f(x)$のフーリエ変換を求めよ．

(b)

$${ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin{a \omega} \cos{\omega x}}{\omega} d\omega}$$を計算せよ．

(c)

(b)の結果を用いて $${\int_{0}^{\infty}\frac{\sin{u}}{u}du}$$を求めよ．

3.

(a)

積分方程式 $\int_{0}^{\infty}f(x)\cos{\omega x}dx = \left\{\begin{array}{ll} 1 - \omega & 0 \leq \omega \leq 1\\ 0 & \omega > 1 \end{array} \right.$を解け．

(b)

(a)の結果を用いて $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}{u}}{u^2}du = \frac{\pi}{2}$を示せ．

4.

フーリエ積分公式を使って，次の各等式が成り立つことを示せ．

(a)

$${ \int_{0}^{\infty}\frac{1 - \cos{a \omega}}{\omega}\sin{\omega x}... ...c{\pi}{2},& 0 < x < a\\ \frac{\pi}{4},& x = a\\ 0,& x > a \end{array}\right.}$$

(b)

$${ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin{\pi \omega} \sin{\omega x}}{1 - \ome... ...in{x}}{2},& \vert x\vert \leq \pi\\ 0,& \vert x\vert > \pi \end{array}\right.}$$