演習問題


1.
$f(x)$ $(0, \infty)$で区分的に滑らかで, $\int_{0}^{\infty}\vert f(x)\vert dx < \infty$ $($絶対積分可能$)$のとき,次のことが成り立つことを示せ.
(a)
$\displaystyle{ {\cal F}_{s}[f^{\prime}(x)] = - \omega {\cal F}_{c}[f(x)]}$
(b)
$\displaystyle{ {\cal F}_{c}[f^{\prime}(x)] = - f(0+) + \omega {\cal F}_{s}[f(x)]}$
2.
$\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{ll}
1 & \vert x\vert < a \\
0 & \vert x\vert > a
\end{array}\right . }$のとき,下の問いに答えよ.
(a)
$f(x)$のフーリエ変換を求めよ.
(b)
$\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin{a \omega} \cos{\omega x}}{\omega} d\omega}$を計算せよ.
(c)
(b)の結果を用いて $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin{u}}{u}du}$を求めよ.
3.
(a)
積分方程式 $\int_{0}^{\infty}f(x)\cos{\omega x}dx = \left\{\begin{array}{ll}
1 - \omega & 0 \leq \omega \leq 1\\
0 & \omega > 1
\end{array} \right. $を解け.
(b)
(a)の結果を用いて $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{2}{u}}{u^2}du = \frac{\pi}{2}$を示せ.
4.
フーリエ積分公式を使って,次の各等式が成り立つことを示せ.
(a)
$\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\frac{1 - \cos{a \omega}}{\omega}\sin{\omega x}...
...c{\pi}{2},& 0 < x < a\\
\frac{\pi}{4},& x = a\\
0,& x > a
\end{array}\right.}$
(b)
$\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin{\pi \omega} \sin{\omega x}}{1 - \ome...
...in{x}}{2},& \vert x\vert \leq \pi\\
0,& \vert x\vert > \pi
\end{array}\right.}$