演習問題

1.

次のSturm-Liouville 問題を解け．

(a)

$${ y^{\prime\prime} + \lambda y = 0, \ y^{\prime}(0) = 0, y^{\prime}(L) = 0}$$

(b)

$${ y^{\prime\prime} + \lambda y = 0, \ y(0) = 0, y^{\prime}(L) = 0}$$

(c)

$${ (xy^{\prime})^{\prime} + (\frac{\lambda}{x})y = 0, \ y(1) = 0, y(e) = 0}$$

2.

次の微分方程式はChebyshevの微分方程式とよばれるものです．

$$(1-x^{2})y^{\prime\prime} - xy^{\prime} + p^{2}y = 0 \ -1 < x < 1$$

ここで$p$が負でない整数のとき，この方程式は多項式の解を持ちます．この解を$x=1$のとき$1$になるようにし$T_{n}(x)$で表わします．これを位数$n$のChebyshevの多項式といいます．最初の幾つかのChebyshevの多項式を表わすと次のようになります．

$$T_{0} = 1, T_{1} = x, T_{2} = 2x^{2} - 1, T_{3} = 4x^{3} - 3x , \ldots$$

ここでChebyshevの多項式全体の集合は区間$[-1,1]$である重み $\phi(x)$ に関して直交系をなすことを示せ．