6.4 解答

6.4

(a) $\lambda = 0$ のとき， $y^{\prime\prime} = 0$ より

$\displaystyle y = c_{1}x + c_{2}.$

ここで境界条件 $y^{\prime}(0) = y^{\prime}(L) = 0$ を用いると $c_{1} = 0$ となり， $y \equiv c_{2}$ ．
次に， $\lambda < 0$ のとき， $\lambda = - \alpha^{2} \ (\alpha > 0)$ とおくと

$\displaystyle y^{\prime\prime} - \alpha^{2}y = 0.$

特性方程式を求めると $m^{2} - \alpha^{2} = 0$ より， $m = \pm \alpha$ ．よって

$\displaystyle y = c_{1}e^{\alpha x} + c_{2}e^{-\alpha x}.$

ここで境界条件 $y^{\prime}(0) = y^{\prime}(L) = 0$ を用いると

0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y^{\prime}(0) = c_{1}\alpha - c_{2}\alpha$
0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y^{\prime}(L) = c_{1}\alpha e^{\alpha L} - c_{2}\alpha e^{- \alpha L}$

最初の式より $c_{1} = c_{2}$ ．また2つめの式より

$\displaystyle c_{1}\alpha(e^{\alpha L} - e^{- \alpha L}) = 0$

となるので， $c_{1} = c_{2} = 0$ ．よって $y \equiv 0$ ．
最後に $\lambda > 0$ のとき， $\lambda = \beta^{2} \ (\beta > 0)$ とおくと

$\displaystyle y^{\prime\prime} + \beta^{2}y = 0.$

特性方程式を求めると $m^{2} + \beta^{2} = 0$ より， $m = \pm \beta i$ ．よって

$\displaystyle y = c_{1}\cos{\beta x} + c_{2}\sin{\beta x}.$

ここで境界条件 $y^{\prime}(0) = y^{\prime}(L) = 0$ を用いると

0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y^{\prime}(0) = c_{2} \beta$
0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y^{\prime}(L) = -c_{1}\beta \sin{\beta L} + c_{2}\beta \cos{\beta L}$

となる．これより $c_{2} = 0, c_{1}\beta \sin{\beta L} = 0$ を得る．ここで $c_{1} = 0$ ならば自明でない解が存在しない．そこで自明でない解が存在するためには， $\displaystyle{\beta = \frac{n\pi}{L}}$ ．よって

$\displaystyle \lambda_{n} = \beta^2 = (\frac{n\pi}{L})^2, \ y_{n} = \cos(\frac{n\pi x}{L})$

となり，

$\displaystyle y = \left\{\begin{array}{cl} c_{2} ,& \lambda = 0\\ 0 ,& \lambda... ... c_{1}\cos{\frac{n\pi x}{L}} ,& \lambda > 0 \end{array}\right. \ \framebox{終}$

(b) $\lambda = 0$ のとき， $y^{\prime\prime} = 0$ より

$\displaystyle y = c_{1}x + c_{2}.$

ここで境界条件 $y(0) = y^{\prime}(L) = 0$ を用いると

$\displaystyle 0 = y(0) = c_{2}, \ 0 = y^{\prime}(0) = c_{1}$

となり， $y \equiv 0$ ．
次に， $\lambda < 0$ のとき， $\lambda = - \alpha^{2} \ (\alpha > 0)$ とおくと

$\displaystyle y^{\prime\prime} - \alpha^{2}y = 0.$

特性方程式を求めると $m^{2} - \alpha^{2} = 0$ より， $m = \pm \alpha$ ．よって

$\displaystyle y = c_{1}e^{\alpha x} + c_{2}e^{-\alpha x}.$

ここで境界条件 $y(0) = y^{\prime}(L) = 0$ を用いると

0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y(0) = c_{1} + c_{2}$
0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y^{\prime}(L) = c_{1}\alpha e^{\alpha L} - c_{2}\alpha e^{- \alpha L}$

最初の式より $c_{1} = - c_{2}$ ．また2つめの式より

$\displaystyle c_{1}\alpha(e^{\alpha L} + e^{- \alpha L}) = 0$

となるので， $c_{1} = c_{2} = 0$ ．よって $y \equiv 0$ ．
最後に $\lambda > 0$ のとき， $\lambda = \beta^{2} \ (\beta > 0)$ とおくと

$\displaystyle y^{\prime\prime} + \beta^{2}y = 0.$

特性方程式を求めると $m^{2} + \beta^{2} = 0$ より， $m = \pm \beta i$ ．よって

$\displaystyle y = c_{1}\cos{\beta x} + c_{2}\sin{\beta x}.$

ここで境界条件 $y(0) = y^{\prime}(L) = 0$ を用いると

0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y(0) = c_{1}$
0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y^{\prime}(L) = -c_{1}\beta \sin{\beta L} + c_{2}\beta \cos{\beta L}$

となる．これより $c_{1} = 0, c_{2}\beta \cos{\beta L} = 0$ を得る．ここで $c_{2} = 0$ ならば自明でない解が存在しない．そこで自明でない解が存在するためには， $\displaystyle{\beta = \frac{n\pi}{L}}$ ．よって $\displaystyle{\equiv c_{2}\sin(\frac{n\pi x}{L})}$ となる．これより

$\displaystyle y = \left\{\begin{array}{cl} 0 ,& \lambda \leq 0\\ c_{2}\sin{\frac{n\pi x}{L}} ,& \lambda > 0 \end{array}\right. \ \framebox{終}$

(c)

$\displaystyle (xy^{\prime})^{\prime} + (\frac{\lambda}{x})y = y^{\prime} + xy^{\prime\prime} + \frac{\lambda }{x}y = 0$

より

$\displaystyle x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + \lambda y = 0, y(1) = 0, \ y(e) = 0$

$\lambda = 0$ のとき， $x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} = 0$ ．これはCauchy-Eulerの方程式より $y = x^{m}, x = e^{t}$ とおくと， $m(m - 1) + m = 0$

より

．よって

$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = 0$

これより

$\displaystyle y = c_{1}t + c_{2} = c_{1} + c_{2}\log{x}.$

ここで境界条件

を用いると

$\displaystyle 0 = y(1) = c_{1}, \ 0 = y(e) = c_{2}$

となり， $y \equiv 0$ ．
次に， $\lambda < 0$ のとき， $\lambda = - \alpha^{2} \ (\alpha > 0)$ とおくと

$\displaystyle x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} - \alpha^2 y = 0.$

ここで $y = x^{m}, x = e^{t}$ とおくと， $m(m - 1) + m - \alpha^2 = 0$ より $m^2 - \alpha^2= 0$ ．よって

$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dt^{2}} - \alpha^2 y = 0$

これより

$\displaystyle y = c_{1}e^{\alpha t} + c_{2}e^{- \alpha t} = c_{1}x^{\alpha} + c_{2}x^{-\alpha}$

ここで境界条件

を用いると

0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y(1) = c_{1} + c_{2}$
0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y(e) = c_{1}e^{\alpha } + c_{2}e^{- \alpha }$

最初の式より $c_{1} = - c_{2}$ ．また2つめの式より

$\displaystyle c_{1}(e^{\alpha } - e^{- \alpha }) = 0$

となるので， $c_{1} = c_{2} = 0$ ．よって $y \equiv 0$ ．
最後に $\lambda > 0$ のとき， $\lambda = \beta^{2} \ (\beta > 0)$ とおくと

$\displaystyle x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + \beta^2 y = 0.$

ここで $y = x^{m}, x = e^{t}$ とおくと， $m(m - 1) + m + \beta^2 = 0$ より $m^2 + \beta^2= 0$ ．よって $m = \pm \beta i$ ．これより

$\displaystyle y$	$\displaystyle =$	$\displaystyle c_{1}\cos{\beta t} + c_{2}\sin{\beta t}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle c_{1}\cos{(\beta \log{x})} + c_{2}\sin{(\beta \log{x})}$

ここで境界条件

を用いると

0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y(1) = c_{1}$
0	$\displaystyle =$	$\displaystyle y(e) = c_{2}\sin{\beta }$

となる．ここで $c_{2} = 0$ ならば自明でない解が存在しない．そこで自明でない解が存在するためには， $\beta = n\pi$ ．よって $y \equiv c_{2}\sin(n\pi \log{x})$ となる．まとめると

$\displaystyle y = \left\{\begin{array}{cl} 0 &, \lambda \leq 0\\ c_{2}\sin{(n\pi \log{x})} &, \lambda > 0 \end{array}\right. \ \ \framebox{終}$

2. Chebyshevの多項敷き $T_{m},T_{n}$ は固有値 $p = p_{m},p_{n}$ に関する固有関数である．よって

$\displaystyle (1 - x^2) T_{m}'' - x T_{m}' + p_{m}^2 T_{m} = 0$

(A.14)

$\displaystyle (1 - x^2) T_{n}'' - x T_{n}' + p_{n}^2 T_{n} = 0$

(A.15)

ここで式(A.14)に $T_{n}$ を式(A.15)に $-T_{m}$ をかけて加えると

$\displaystyle (1 - x^2)(T_{m}'' T_{n} - T_{n}'' T_{m}) - x(T_{m}'T_{n} - T_{n}' T_{m}) + (p_{m}^2 - p_{n}^2)T_{n}T_{m} = 0$

または，

$\displaystyle \frac{d}{dx}[T_{m}' T_{n} - T_{n}' T_{m}] - \frac{x}{1- x^2}(T_{m}' T_{n} - T_{n}' T_{m}) = \frac{(p_{m}^2 - p_{n}^2)T_{m}T_{n}}{1 - x^2}$

(A.16)

これは一階の線形微分方程式なので，積分因子 $\mu$ を求めると

$\displaystyle \mu = e^{-\int{\frac{x}{1-x^2}}dx} = e^{\frac{1}{2}\log{(1-x^2)}} = \sqrt{1-x^2}$

これを式(A.16)の両辺にかけると

$\displaystyle \frac{d}{dx}\{\sqrt{1-x^2}(T_{m}' T_{n} - T_{n}' T_{m})\} = \frac{(p_{m}^2 - p_{n}^2)T_{m}T_{n}}{\sqrt{1 - x^2}}$

これを-1から1まで積分すると

$\displaystyle (p_{m}^2 - p_{n}^2)\int_{-1}^{1}\frac{T_{m}T_{n}}{\sqrt{1 - x^2}}dx = \sqrt{1-x^2}(T_{m}' T_{n} - T_{n}' T_{m})\mid_{-1}^{1} = 0$

よって，重み $\phi(x) = \sqrt{1-x^2}$ に関して， $T_{m},T_{n}$ は直交する． $\framebox{終}$