演習問題


1.
次の関数のフーリエ級数をもとめよ.またフーリエ級数のグラフを描け.
(a)
$\displaystyle{ f(x) = \left\{\begin{array}{cl}
1,&-\pi < x < 0\\
2,& 0 < x <\pi
\end{array}\right .}$
(b)
$\displaystyle{ f(x) = \vert\sin{x}\vert \in PC[-\pi,\pi]}$
(c)
$\displaystyle{ f(x) = x \in PC[-\pi,\pi]}$
2.
$\displaystyle{ f(x) = x^2 \in PC[-\pi,\pi]}$のフーリエ級数を用いて

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12} \ $   を示せ

3.
$\displaystyle{ f(x) = x \in PC[-\pi,\pi]}$のフーリエ級数を用いて

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4} \ $   を示せ