演習問題

1.

次の関数のフーリエ級数をもとめよ．またフーリエ級数のグラフを描け．

(a)

$${ f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 1,&-\pi < x < 0\\ 2,& 0 < x <\pi \end{array}\right .}$$

(b)

$${ f(x) = \vert\sin{x}\vert \in PC[-\pi,\pi]}$$

(c)

$${ f(x) = x \in PC[-\pi,\pi]}$$

2.

$${ f(x) = x^2 \in PC[-\pi,\pi]}$$のフーリエ級数を用いて

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12} \$$   を示せ

3.

$${ f(x) = x \in PC[-\pi,\pi]}$$のフーリエ級数を用いて

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4} \$$   を示せ