演習問題

1.

次の微分方程式の特異点をみつけ分類せよ．

(a)

$${ x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + y = e^{x}}$$

(b)

$${ x(x-1)^{3}y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + (x-1)^{2}y = 0}$$

(c)

$${ (2 - x)y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + \frac{y}{(x-2)^{2}} = 0}$$

2.

次の微分方程式の$x = 0$のまわりでの級数解を1つ求めよ．

(a)

$${ x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} +(x^2 - 4)y = 0}$$

(b)

$${ xy^{\prime\prime} + y^{\prime} + xy = 0}$$

(c)

$${ 4x^2 y^{\prime\prime} - 2x(x-2)y^{\prime} - (3x+1)y = 0}$$

3.

次の微分方程式の付記した点のまわりでの整級数解を求めよ．

(a)

$${ (1-x^2)y^{\prime\prime} -2xy^{\prime} + 12y = 0, \ a= 1}$$

この方程式は3次のLegendreの方程式といいます．

(b)

$${ x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + x^2 y = 0, \ a = 0}$$

この方程式は0次のBesselの方程式といいます．