演習問題


1.
次の微分方程式の特異点をみつけ分類せよ.
(a)
$\displaystyle{ x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + y = e^{x}}$
(b)
$\displaystyle{ x(x-1)^{3}y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + (x-1)^{2}y = 0}$
(c)
$\displaystyle{ (2 - x)y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + \frac{y}{(x-2)^{2}} = 0}$
2.
次の微分方程式の$x = 0$のまわりでの級数解を1つ求めよ.
(a)
$\displaystyle{ x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} +(x^2 - 4)y = 0}$
(b)
$\displaystyle{ xy^{\prime\prime} + y^{\prime} + xy = 0}$
(c)
$\displaystyle{ 4x^2 y^{\prime\prime} - 2x(x-2)y^{\prime} - (3x+1)y = 0}$
3.
次の微分方程式の付記した点のまわりでの整級数解を求めよ.
(a)
$\displaystyle{ (1-x^2)y^{\prime\prime} -2xy^{\prime} + 12y = 0, \ a= 1}$

この方程式は3次のLegendreの方程式といいます.

(b)
$\displaystyle{ x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + x^2 y = 0, \ a = 0}$

この方程式は0次のBesselの方程式といいます.