演習問題

1.

定数変化法を用いて次の微分方程式を解け．

(a)

$\displaystyle{ y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + y = \frac{e^{-x}}{x}}$

(b)

$\displaystyle{ y^{\prime\prime} + 4y = \tan{2x}}$

(c)

$\displaystyle{ y^{\prime\prime} - 4y^{\prime} + 4y = \frac{e^{2x}}{x}}$

(d)

$\displaystyle{ y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y = \frac{1}{1+e^{-x}}}$

(e)

$\displaystyle{ y^{\prime\prime\prime} + y^{\prime} = \tan{x}}$

2.

定数変化法を用いて $\displaystyle{y^{\prime\prime} + y = f(x)}$ の一般解は

$\displaystyle y = c_{1}\cos{x} + c_{2}\sin{x} + \int_{a}^{x}f(t)\sin{(x-t)}dt$

で与えられることを示せ．