演習問題


1.
階数低減法を用いて次の微分方程式を解け.
(a)
$\displaystyle{ y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y = 0,\ y_{1} = e^{2x}}$
(b)
$\displaystyle{ x^{2}y^{\prime\prime} - 3xy^{\prime} + 4y = 0, \ y_{1} = x^{2}}$
(c)
$\displaystyle{ y^{\prime\prime} - y = e^{-x}, \ y_{1} = e^{-x}}$
(d)
$\displaystyle{ y^{\prime\prime} + y = \sec{x}, \ y_{1} = \cos{x}}$
2.
$\displaystyle{ y^{\prime\prime} + a_{1}(x)y^{\prime} + a_{0}(x)y = 0}$の1つの解が$y_{1}(x)$のとき,階数低減法をもちいて,もう1つの解$y_{2}(x)$を求めると

$\displaystyle y_{2}(x) = y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int a_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}} dx $

で与えられることを示せ.また $\{y_{1},y_{2}\}$は1次独立であることを示せ.