演習問題

1.

階数低減法を用いて次の微分方程式を解け．

(a)

$${ y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y = 0,\ y_{1} = e^{2x}}$$

(b)

$${ x^{2}y^{\prime\prime} - 3xy^{\prime} + 4y = 0, \ y_{1} = x^{2}}$$

(c)

$${ y^{\prime\prime} - y = e^{-x}, \ y_{1} = e^{-x}}$$

(d)

$${ y^{\prime\prime} + y = \sec{x}, \ y_{1} = \cos{x}}$$

2.

$${ y^{\prime\prime} + a_{1}(x)y^{\prime} + a_{0}(x)y = 0}$$の1つの解が$y_{1}(x)$のとき，階数低減法をもちいて，もう1つの解$y_{2}(x)$を求めると

$$y_{2}(x) = y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int a_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}} dx$$

で与えられることを示せ．また $\{y_{1},y_{2}\}$は1次独立であることを示せ．