演習問題


1.
次の微分方程式は$e^{mx}$の形をした解を持っている.n個の1次独立な解を求め,一般解を表わせ.またこれらの解が1次独立であることをWronskiの行列式を用いて示せ.
(a)
$\displaystyle{ y^{\prime\prime\prime} + y^{\prime\prime} -10y^{\prime} + 8y = 0}$
(b)
$\displaystyle{ y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 3y = 0}$
(c)
$\displaystyle{ y^{\prime\prime} - y^{\prime} = 0}$
(d)
$\displaystyle{ y^{\prime\prime\prime} - 8y^{\prime\prime} + 7y^{\prime} = 0}$
2.
次の微分方程式は $\cos{mx},\sin{mx}$の形をした解を持っている.一般解を求めよ.
(a)
$\displaystyle{ y^{\prime\prime} + 4y = 0}$
(b)
$\displaystyle{ y^{(4)} + 4y^{\prime\prime} + 3y = 0}$
3.
次の微分方程式は$x^{m}$の形をした解を持っている.一般解を求めよ.
(a)
$\displaystyle{ x^{2}y^{\prime\prime} + xy^{\prime} - 4y = 0}$
(b)
$\displaystyle{ x^{2}y^{\prime\prime} - xy^{\prime} - 3y = 0}$