演習問題

1.

次の微分方程式は$e^{mx}$の形をした解を持っている．n個の1次独立な解を求め，一般解を表わせ．またこれらの解が1次独立であることをWronskiの行列式を用いて示せ．

(a)

$${ y^{\prime\prime\prime} + y^{\prime\prime} -10y^{\prime} + 8y = 0}$$

(b)

$${ y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 3y = 0}$$

(c)

$${ y^{\prime\prime} - y^{\prime} = 0}$$

(d)

$${ y^{\prime\prime\prime} - 8y^{\prime\prime} + 7y^{\prime} = 0}$$

2.

次の微分方程式は $\cos{mx},\sin{mx}$の形をした解を持っている．一般解を求めよ．

(a)

$${ y^{\prime\prime} + 4y = 0}$$

(b)

$${ y^{(4)} + 4y^{\prime\prime} + 3y = 0}$$

3.

次の微分方程式は$x^{m}$の形をした解を持っている．一般解を求めよ．

(a)

$${ x^{2}y^{\prime\prime} + xy^{\prime} - 4y = 0}$$

(b)

$${ x^{2}y^{\prime\prime} - xy^{\prime} - 3y = 0}$$