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: 演習問題 : 1階微分方程式 : 演習問題   目次   索引

非正規形方程式

１階微分方程式 $ F(x,y,y') = 0$が $ y' = f(x,y)$で書き表されるとき，この微分方程式を正規形方程式とよびます．これまで学んできた微分方程式はすべて正規形でした．ここでは，正規形ではない微分方程式について学びます． 簡略化のために，以下では記号

$\displaystyle p = y' = \frac{dy}{dx}$

を用います．

例題 1.22   $ p^2 + (2x - y^2)p - 2xy^2 = 0$を解け．

解 $ p$について求める．因数分解すると $ (p + 2x)(p - y^2) = 0$となる．この式を満たすには $ p + 2x = 0$または $ p - y^2 = 0$を満たすことである．$ p + 2x = 0$の一般解は $ y + x^2 + C = 0$. また， $ p - y^2 = 0$は変数分離より一般解は $ xy+Cy + 1 = 0$となる．これより，求める一般解は

$\displaystyle (y + x^2 + C)(xy + Cy + 1) = 0$

となる．

例題 1.23   $ xp^2 - 2yp = x$を解け．

解 $ p$について求めると，解の公式より，

$\displaystyle p = \frac{y \pm \sqrt{y^2 +x^2}}{x} $

ここで， $ p = \frac{dy}{dx}$より，この式は同次形となる．したがって$ y = vx$とおくと， $ v + x\frac{dv}{dx} = v \pm \sqrt{1 + v^2}$. これより，

$\displaystyle \int\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \pm \int \frac{dx}{x}$

$\displaystyle \log\vert v + \sqrt{1 + v^2}\vert = \pm \log\vert x\vert + C$

$\displaystyle \log\vert\frac{y}{x} + \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^2}\vert \mp \log\vert x\vert = C$

よって，

$\displaystyle y \mp \sqrt{x^2 + y^2} = C$

こうして一般解は

$\displaystyle (y - \sqrt{x^2 + y^2} - C)(y + \sqrt{x^2 + y^2} - C) = 0$

これを変形すると， $ y = \frac{C^2 - x^2}{2C} = \frac{C}{2} - \frac{x^2}{2C}$

例題 1.24   $ y = p + p^2$を解け．

解 $ p$について解くと，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = p = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4y}}{2}$

となり，これまで学んだどのテクニックでも解けない．そこで，別の方法を考える．

まず，両辺を$ x$で微分すると，

$\displaystyle p = \frac{dp}{dx} + 2p\frac{dp}{dx} = (1 + 2p)\frac{dp}{dx}$

したがって， $ \frac{(1+2p)dp}{p} = dx$より， $ \log\vert p\vert + 2p = x + C$. よって，一般解は$ p$をパラメターとする表示

$\displaystyle x = \log\vert p\vert + 2p + C y = p + p^2$

と表す．

例題 1.25   $ yp^2 + 2xp = y$を解け．

解 $ p$について解くと， $ p = \frac{-x \pm \sqrt{x^2 + y^2}}{y}$. これは同次形であるが，$ y = vx$とおいたのでは解けない．そこで，別の方法を考える． この式は$ x$について解くことができ， $ x = y(\frac{1}{2p} - \frac{p}{2})$となる．この両辺を$ y$で微分すると，

$\displaystyle \frac{1}{p} = p(\frac{1}{2p} - \frac{p}{2}) - y(\frac{1}{2p^2} + \frac{1}{2})\frac{dp}{dy}$

これより，

$\displaystyle \frac{dp}{dy} = -\frac{\frac{1+p^2}{2p}}{y(\frac{1+p^2}{2p^2})} = -\frac{p}{y}$

整理すると， $ \frac{dp}{p} = -\frac{dy}{y}$より $ \log\vert p\vert = -\log\vert y\vert + C$, $ py = C$となる．これを用いて $ yp^2 + 2xp = y$から$ p$を消去すると，一般解

$\displaystyle C^2 + 2xC = y^2$

を得る．

例題 1.26   $ x = 2p + \log\vert p\vert$を解け．

解 $ p$について解くことができないので，両辺を$ y$で微分すると，

$\displaystyle \frac{1}{p} = 2\frac{dp}{dy} + \frac{1}{p}\frac{dp}{dy} = (2 + \frac{1}{p})\frac{dp}{dy}$

これより， $ (2p+1)dp = dy$， $ p^2 + p + C = y$となり，一般解は$ p$をパラメターとして，

$\displaystyle x = 2p + \log\vert p\vert,\ y = p^2 + p + C$



Administrator 平成26年9月18日