5.2 留数

1．特異点とは関数 $f(z)$

が正則でない点のことである．有理関数では分母が0となる点のことである．

$\displaystyle \int_{\vert z\vert = r}\frac{1}{(z - z)^{n}} dz = \left\{\begin{array}{ll} 2\pi i, & n = 1\\ 0, & n \neq 1 \end{array}\right.$

$\displaystyle Res[a] = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z -a)^{m}f(z)$

(a) 分母が0となる点は $z =0, 1$

である．そこで

の留数を求める． $\frac{1}{z(z-1)^{2}}$ を部分分数分解すると

$\displaystyle \frac{1}{z(z-1)^{2}} = \frac{A}{z} + \frac{B}{(z-1)} + \frac{C}{(z-1)^{2}}$

$\displaystyle 1 = A(z-1)^2 + Bz(z-1) + Cz$

$\displaystyle 1 = A$

$\displaystyle 1 = C$

$\displaystyle 0 = A + B \Rightarrow B = -A =-1$

$\displaystyle \frac{1}{z(z-1)^{2}} = \frac{1}{z} + \frac{-1}{(z-1)} + \frac{1}{(z-1)^{2}}$

$\displaystyle Res[0] = \frac{1}{z}の係数 = 1$

$\displaystyle Res[1] = \frac{1}{z-1}の係数 = -1$

(b) 分母が0となる点は $z =-\frac{1}{2}, 2$ である．そこで $z =-\frac{1}{2}, 2$ の留数を求める． $\frac{z}{(2z+1)(z-2)}$ を部分分数分解すると

$\displaystyle \frac{z}{(2z+1)(z-2)} = \frac{A}{2z+1} + \frac{B}{z-2}$

$\displaystyle z = A(z-2) + B(2z+1)$

$\displaystyle 2 = 5B \Rightarrow B = \frac{2}{5}$

$\displaystyle -\frac{1}{2} = A(-\frac{5}{2} \Rightarrow A = \frac{1}{5}$

$\displaystyle \frac{z}{(2z+1)(z-2)} = \frac{1/5}{2z+1} + \frac{2/5}{z-2}$

$\displaystyle \frac{z}{(2z+1)(z-2)} = \frac{1/5}{2(z+\frac{1}{2}} + \frac{2/5}{z-2}$

$\displaystyle Res[2] = \frac{1}{z-2}の係数 = \frac{2}{5}$

$\displaystyle Res[-\frac{1}{2}] = \frac{1}{z+\frac{1}{2}}の係数 = \frac{1}{10}$

(c) 分母が0となる点は $z = n\pi (n=0,\pm1,\pm2,\ldots)$ である．そこで $n\pi$ の留数を求める． $\frac{1}{\sin{z}}$ は部分分数分解できないので， $\sin{z}$ を $z=n\pi$ でテーラー展開し，その後割り算をする．そこで $t = z - n\pi$ とおくと

$\displaystyle \sin{z} = \sin(t + n\pi) = \left\{\begin{array}{ll} \sin{t}, & n \mbox{偶数}\\ -\sin{t}, & n \mbox{奇数} \end{array}\right.$

$\displaystyle \frac{1}{\sin{z}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{\sin{t}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots} = \frac{1}{t} + \frac{t}{3!} + \cdots$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{z - n\pi} + \frac{z- n\pi}{3!} + \cdots$

$\displaystyle Res[n\pi] = \frac{1}{z-n\pi}の係数 = 1$

$\displaystyle \frac{1}{\sin{z}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{1}{\sin{t}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{1}{t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots} = \frac{1}{t} + \frac{t}{3!} + \cdots$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{1}{z - n\pi} - \frac{z- n\pi}{3!} - \cdots$

$\displaystyle Res[n\pi] = \frac{1}{z-n\pi}の係数 = -1$

(d) 分母が0となる点は $z =1, -2$

である．そこで

の留数を求める． $\frac{e^z}{(z-1)(z+2)^2}$ を部分分数分解すると

$\displaystyle \frac{e^z}{(z-1)(z+2)^2} = \frac{A}{z-1} + \frac{B}{z+2} + \frac{C}{(z+2)^2}$

$\displaystyle e^z = A(z+2)^2 + B(z-1)(z+2) + C(z-1)$

$\displaystyle e = 9A \Rightarrow A = \frac{e}{9}$

$\displaystyle e^{-2} = -3C \Rightarrow C = \frac{-e^{-2}}{3}$

$\displaystyle Res[1] = \frac{1}{z-1}の係数 = \frac{e}{9}$

$\displaystyle Res[-2] = \frac{1}{(2-1)!}\lim_{z \to -2}\frac{d}{dz}(z +2)^{2} \frac{e^z}{(z-1)(z+2)^2} = -\frac{4e^{-2}}{9}$

関数

が単一閉曲線

の上および内部で，その内部にある有限個の点 $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ を除いて正則な1価関数であるとき

$\displaystyle \int_{C}f(z) dz = 2\pi i\{Res[a_{1}] + Res[a_{2}] + \cdots + Res[a_{n}]\}$

$\displaystyle \int_{\vert z\vert=2}\frac{dz}{z(z-1)^2}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\pi i\{Res[0] + Res[1]\} \ (z=0,1は\vert z\vert = 2に含まれる)$
	$\displaystyle =$	$% latex2html id marker 12954 $\displaystyle 2\pi i (1 - 1) = 0 \ \ 演習\ref{enshu:14-1-1a}の結果より$$

$\displaystyle \int_{\vert z\vert=1}\frac{z}{(2z+1)(z-2)} dz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\pi i Res[-\frac{1}{2}] \ (z=2は\vert z\vert = 1に含まれない)$
	$\displaystyle =$	$% latex2html id marker 12965 $\displaystyle 2\pi i \frac{1}{10} = \frac{\pi i}{5} \ 演習\ref{enshu:14-1-1b}の結果より$$

$\displaystyle \int_{\vert z\vert=1}\frac{dz}{\sin{z}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\pi i Res[0] \ (z=0だけ\vert z\vert = 1に含まれる)$
	$\displaystyle =$	$% latex2html id marker 12976 $\displaystyle 2\pi i \ \ 演習\ref{enshu:14-1-1c}の結果より$$

$\displaystyle \int_{\vert z\vert=3}\frac{e^{z}}{(z-1)(z+2)^2} dz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\pi i (Res[1] + Res[-2]) \ (z=1,2は\vert z\vert = 3に含まれる)$
	$\displaystyle =$	$% latex2html id marker 12987 $\displaystyle 2\pi i (\frac{e}{9} - \frac{e^{-2}}{9})\ \ 演習\ref{enshu:14-1-1d}の結果より$$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{2\pi i}{9}(e - e^{-2})$

(a) $\vert z\vert = 1$ の円には特異点 $z=0$

だけが含まれる．ここで $Res[0]$

を求めると

$\displaystyle Res[0]$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{z \to 0}\frac{d}{dz}z^{2}(\frac{e^{2z}}{z^2(z^2 + 2z + 2)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{z \to 0}\frac{d}{dz}(\frac{e^{2z}}{z^2 + 2z +2})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{z \to 0}(\frac{2e^{2z}(z^2 + 2z +2) - e^{2z}(2z+2)}{(z^2 + 2z +2)^2}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{4-2}{4} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle \int_{\vert z\vert=1}\frac{e^{2z}}{z^{2}(z^2 + 2z + 2)} dz = 2\pi i Res[0] = \pi i$

(b) $\vert z - i\vert = 2$ の円には特異点 $z=0, -1+i$

が含まれる．ここで

はすでにAで求めたので $Res[-1+i]$

を求めると

$\displaystyle Res[-1+i]$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{z \to -1+i}(z - (-1+i))(\frac{e^{2z}}{z^2(z^2 + 2z + 2)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{z \to -1+i}(\frac{e^{2z}}{z-(-1-i)})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{e^{2(-1+i)}}{(-1+i)^2 (-1 + i+1+i)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{e^{2(-1+i)}}{4}$

$\displaystyle \int_{\vert z-i\vert=2}\frac{e^{2z}}{z^{2}(z^2 + 2z + 2)} dz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\pi i (Res[0] + Res[-1+i])$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\pi i(\frac{1}{2} + \frac{e^{2(-1+i)}}{4})$

の全てが含まれる．ここで $Res[0], Res[-1+i]$

はすでにAで求めたので $Res[-1-i]$

を求めると

$\displaystyle Res[-1-i]$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{z \to -1-i}(z - (-1-i))(\frac{e^{2z}}{z^2(z^2 + 2z + 2)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lim_{z \to -1-i}(\frac{e^{2z}}{z-(-1+i)})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{e^{2(-1-i)}}{(-1-i)^2 (-1 - i+1-i)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{e^{-2(1+i)}}{4}$

$\displaystyle \int_{\vert z\vert=3}\frac{e^{2z}}{z^{2}(z^2 + 2z + 2)} dz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\pi i (Res[0] + Res[-1+i] + Res[-1-i])$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\pi i(\frac{1}{2} + \frac{e^{2(-1+i)}}{4} + \frac{e^{-2(1+i)}}{4})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\pi i(\frac{1}{2} + \frac{e^{-2}e^{-2i} + e^{-2}e^{2i}}{4})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\pi i(\frac{1}{2} + \frac{e^{-2}}{2}\frac{e^{2i}+e^{-2i}}{2})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \pi i (1 + \frac{e^{-2}}\cos{2})$