5.2 留数

1． 特異点とは関数$f(z)$が正則でない点のことである．有理関数では分母が0となる点のことである．

基本公式

$$\int_{\vert z\vert = r}\frac{1}{(z - z)^{n}} dz = \left\{\begin{array}{ll} 2\pi i, & n = 1\\ 0, & n \neq 1 \end{array}\right.$$

この公式から分かるように，ローラン展開したときに $\frac{1}{z-a}$の積分は0にならないが，それ以外は全て0になる．このことから積分したときに0とならないものという意味で $\frac{1}{z-a}$の係数を留数といい，$Res[a]$と表わす．

留数公式 点$a$が$f(z)$の$m$位の特異点のとき

$$Res[a] = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z -a)^{m}f(z)$$

(a) 分母が0となる点は$z =0, 1$である．そこで$z =0, 1$の留数を求める． $\frac{1}{z(z-1)^{2}}$を部分分数分解すると

$$\frac{1}{z(z-1)^{2}} = \frac{A}{z} + \frac{B}{(z-1)} + \frac{C}{(z-1)^{2}}$$

ここで分母を払うと

$$1 = A(z-1)^2 + Bz(z-1) + Cz$$

より$z=0$とおくと

$$1 = A$$

$z=1$とおくと

$$1 = C$$

$z^2$の係数合わせをすると

$$0 = A + B \Rightarrow B = -A =-1$$

よって

$$\frac{1}{z(z-1)^{2}} = \frac{1}{z} + \frac{-1}{(z-1)} + \frac{1}{(z-1)^{2}}$$

これより

$$Res[0] = \frac{1}{z}の係数 = 1$$

$$Res[1] = \frac{1}{z-1}の係数 = -1$$

(b) 分母が0となる点は $z =-\frac{1}{2}, 2$である．そこで $z =-\frac{1}{2}, 2$の留数を求める． $\frac{z}{(2z+1)(z-2)}$を部分分数分解すると

$$\frac{z}{(2z+1)(z-2)} = \frac{A}{2z+1} + \frac{B}{z-2}$$

ここで分母を払うと

$$z = A(z-2) + B(2z+1)$$

より$z = 2$とおくと

$$2 = 5B \Rightarrow B = \frac{2}{5}$$

$z=-\frac{1}{2}$とおくと

$$-\frac{1}{2} = A(-\frac{5}{2} \Rightarrow A = \frac{1}{5}$$

よって

$$\frac{z}{(2z+1)(z-2)} = \frac{1/5}{2z+1} + \frac{2/5}{z-2}$$

であるが，留数は $\frac{1}{z-a}$の係数であるので，次のように表わす．

$$\frac{z}{(2z+1)(z-2)} = \frac{1/5}{2(z+\frac{1}{2}} + \frac{2/5}{z-2}$$

これより

$$Res[2] = \frac{1}{z-2}の係数 = \frac{2}{5}$$

$$Res[-\frac{1}{2}] = \frac{1}{z+\frac{1}{2}}の係数 = \frac{1}{10}$$

(c) 分母が0となる点は $z = n\pi (n=0,\pm1,\pm2,\ldots)$である．そこで$n\pi$の留数を求める． $\frac{1}{\sin{z}}$は部分分数分解できないので，$\sin{z}$を$z=n\pi$でテーラー展開し，その後割り算をする．そこで $t = z - n\pi$とおくと

$$\sin{z} = \sin(t + n\pi) = \left\{\begin{array}{ll} \sin{t}, & n \mbox{偶数}\\ -\sin{t}, & n \mbox{奇数} \end{array}\right.$$

となる．そこで，まず，$n$が偶数の場合を考えると

$$\frac{1}{\sin{z}} = \frac{1}{\sin{t}}$$

$$= \frac{1}{t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots} = \frac{1}{t} + \frac{t}{3!} + \cdots$$

$$= \frac{1}{z - n\pi} + \frac{z- n\pi}{3!} + \cdots$$

これより

$$Res[n\pi] = \frac{1}{z-n\pi}の係数 = 1$$

次に，$n$が奇数の場合を考えると

$$\frac{1}{\sin{z}} = -\frac{1}{\sin{t}}$$

$$= -\frac{1}{t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots} = \frac{1}{t} + \frac{t}{3!} + \cdots$$

$$= -\frac{1}{z - n\pi} - \frac{z- n\pi}{3!} - \cdots$$

これより

$$Res[n\pi] = \frac{1}{z-n\pi}の係数 = -1$$

(d) 分母が0となる点は$z =1, -2$である．そこで$z =1, -2$の留数を求める． $\frac{e^z}{(z-1)(z+2)^2}$を部分分数分解すると

$$\frac{e^z}{(z-1)(z+2)^2} = \frac{A}{z-1} + \frac{B}{z+2} + \frac{C}{(z+2)^2}$$

ここで分母を払うと

$$e^z = A(z+2)^2 + B(z-1)(z+2) + C(z-1)$$

より$z=1$とおくと

$$e = 9A \Rightarrow A = \frac{e}{9}$$

$z=-2$とおくと

$$e^{-2} = -3C \Rightarrow C = \frac{-e^{-2}}{3}$$

これより

$$Res[1] = \frac{1}{z-1}の係数 = \frac{e}{9}$$

最後に$B$を求めたいのだが，係数合わせは使えない．なぜなら$e^{z}$は多項式ではない．そこで，へービサイドの展開定理を用いるか留数公式を用いる．ここでは留数公式を用いる．$-2$は2位の極なので

$$Res[-2] = \frac{1}{(2-1)!}\lim_{z \to -2}\frac{d}{dz}(z +2)^{2} \frac{e^z}{(z-1)(z+2)^2} = -\frac{4e^{-2}}{9}$$

2. 留数定理

関数$f(z)$が単一閉曲線$C$の上および内部で，その内部にある有限個の点 $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$を除いて正則な1価関数であるとき

$$\int_{C}f(z) dz = 2\pi i\{Res[a_{1}] + Res[a_{2}] + \cdots + Res[a_{n}]\}$$

が成り立つ．

(a) 留数定理より

$$\int_{\vert z\vert=2}\frac{dz}{z(z-1)^2} = 2\pi i\{Res[0] + Res[1]\} \ (z=0,1は\vert z\vert = 2に含まれる)$$

$$= 2\pi i (1 - 1) = 0 \ \ 演習\ref{enshu:14-1-1a}の結果より$$

(b) 留数定理より

$$\int_{\vert z\vert=1}\frac{z}{(2z+1)(z-2)} dz = 2\pi i Res[-\frac{1}{2}] \ (z=2は\vert z\vert = 1に含まれない)$$

$$= 2\pi i \frac{1}{10} = \frac{\pi i}{5} \ 演習\ref{enshu:14-1-1b}の結果より$$

(c) 留数定理より

$$\int_{\vert z\vert=1}\frac{dz}{\sin{z}} = 2\pi i Res[0] \ (z=0だけ\vert z\vert = 1に含まれる)$$

$$= 2\pi i \ \ 演習\ref{enshu:14-1-1c}の結果より$$

(d) 留数定理より

$$\int_{\vert z\vert=3}\frac{e^{z}}{(z-1)(z+2)^2} dz = 2\pi i (Res[1] + Res[-2]) \ (z=1,2は\vert z\vert = 3に含まれる)$$

$$= 2\pi i (\frac{e}{9} - \frac{e^{-2}}{9})\ \ 演習\ref{enshu:14-1-1d}の結果より$$

$$= \frac{2\pi i}{9}(e - e^{-2})$$

3.

(a) $\vert z\vert = 1$の円には特異点$z=0$だけが含まれる．ここで$Res[0]$を求めると

$$Res[0] = \lim_{z \to 0}\frac{d}{dz}z^{2}(\frac{e^{2z}}{z^2(z^2 + 2z + 2)}$$

$$= \lim_{z \to 0}\frac{d}{dz}(\frac{e^{2z}}{z^2 + 2z +2})$$

$$= \lim_{z \to 0}(\frac{2e^{2z}(z^2 + 2z +2) - e^{2z}(2z+2)}{(z^2 + 2z +2)^2}$$

$$= \frac{4-2}{4} = \frac{1}{2}$$

よって留数定理より

$$\int_{\vert z\vert=1}\frac{e^{2z}}{z^{2}(z^2 + 2z + 2)} dz = 2\pi i Res[0] = \pi i$$

(b) $\vert z - i\vert = 2$の円には特異点$z=0, -1+i$が含まれる．ここで$Res[0]$はすでにAで求めたので$Res[-1+i]$を求めると

$$Res[-1+i] = \lim_{z \to -1+i}(z - (-1+i))(\frac{e^{2z}}{z^2(z^2 + 2z + 2)}$$

$$= \lim_{z \to -1+i}(\frac{e^{2z}}{z-(-1-i)})$$

$$= \frac{e^{2(-1+i)}}{(-1+i)^2 (-1 + i+1+i)}$$

$$= \frac{e^{2(-1+i)}}{4}$$

よって留数定理より

$$\int_{\vert z-i\vert=2}\frac{e^{2z}}{z^{2}(z^2 + 2z + 2)} dz = 2\pi i (Res[0] + Res[-1+i])$$

$$= 2\pi i(\frac{1}{2} + \frac{e^{2(-1+i)}}{4})$$

(c) $\vert z\vert = 3$の円には特異点 $z=0, -1+i, -1 -i$の全てが含まれる．ここで $Res[0], Res[-1+i]$はすでにAで求めたので$Res[-1-i]$を求めると

$$Res[-1-i] = \lim_{z \to -1-i}(z - (-1-i))(\frac{e^{2z}}{z^2(z^2 + 2z + 2)}$$

$$= \lim_{z \to -1-i}(\frac{e^{2z}}{z-(-1+i)})$$

$$= \frac{e^{2(-1-i)}}{(-1-i)^2 (-1 - i+1-i)}$$

$$= \frac{e^{-2(1+i)}}{4}$$

よって留数定理より

$$\int_{\vert z\vert=3}\frac{e^{2z}}{z^{2}(z^2 + 2z + 2)} dz = 2\pi i (Res[0] + Res[-1+i] + Res[-1-i])$$

$$= 2\pi i(\frac{1}{2} + \frac{e^{2(-1+i)}}{4} + \frac{e^{-2(1+i)}}{4})$$

$$= 2\pi i(\frac{1}{2} + \frac{e^{-2}e^{-2i} + e^{-2}e^{2i}}{4})$$

$$= 2\pi i(\frac{1}{2} + \frac{e^{-2}}{2}\frac{e^{2i}+e^{-2i}}{2})$$

$$= \pi i (1 + \frac{e^{-2}}\cos{2})$$