複素関数(Complex function)

複素平面上の1つの領域$D$の各点 $z = x + yi$に対し，1つの複素数 $w = u + vi$， $u = u(x,y), v= v(x,y)$が対応するとき，$w$を領域$D$で定義された複素関数といい， $w = f(z) = u + iv = u(x,y) + iv(x,y)$と表わす．この領域$D$を関数$f(z)$の定義域(domain)という．

例題 2..1   次の関数の定義域を求めよ． (a) $w = f(z) = z^2$, (b) $w = f(z) = \frac{1}{z}$

解 (a) $w = z^2$の定義域$D$は全平面で， $u = x^2 - y^2, v = 2xy$

(b) $w = \frac{1}{z}$の定義域$D$は原点を除く全平面で， $u = \frac{x}{x^2 + y^2}, \ v = \frac{-y}{x^2 + y^2}$

複素関数$w = f(z)$は$z$平面上の点$z$を$w$平面上の点$w$に対応させる写像と考えられるから，写像$w = f(z)$ということもある．このとき$w$を像，$z$を原像という．

一般には，1つの$z$に対応する$w$の値は1つと限らないが，私の講義では特に断らない限り$w$の値がただ1つ対応する1価関数だけを扱う．

練習問題2.1

1. $w = z^2$のとき，$x,y$を$u,v$の関数で表し， $z$平面の実軸および虚軸に平行な$w$平面のどのような曲線に写像されるかを調べよ．

2. 次の関数について$u,v$を$x,y$の関数で表せ．

(a)

$w = z^3$

(b)

$w = \frac{z}{z+1}$

(c)

$w = \frac{z - i}{z + i}$